Навигация
Понятие «перестановки без повторений»
44253
знака
5
таблиц
4
изображения
4.2. Понятие «перестановки без повторений»
Два размещения без повторений из n элементов по n, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке называются перестановками без повторений из n элементов. Их число обозначают Рn.
- Выведем формулу.
Следовательно, число перестановок без повторений находится по формуле: Рп=n!
Вычислите: Р3; Р5
Р3=3!=6; Р5=5!=120
4.3. Понятие «перестановки с повторениями»
Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем буква х1 входит в этот кортеж п1 раз, буква хk= пk раз. Тогда п=п1 + … +пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из букв х1,… , хk, имеющими состав (п1, … , пk).
Число таких перестановок обозначается Р(п1, … , пk) и находится по формуле:
Упражнение. Вычислите: Р(2, 5, 3); Р(1, 2, 3, 4).
Решение. Р(2, 5, 3); п=2+5+3=10, п1=2, п2=5, п3=3
5. Закрепление
Задача 1. Найдите число способов расстановки 8 ладьей на шахматной доске, при которых они не бьют друг друга.
Решение. Каждый искомый способ задается перестановкой 8 чисел1,2, … 8. Эти числа указывают номера горизонталей занятых полей на первой, второй, …, восьмых вертикалей. Значит, таких перестановок 8!. Таким образом, ладьи можно расставить 8!=40 320 способами.
Задача 2. Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?
Решение. Р4=4!=24.
Задача 3. За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?
Решение. Р5=5!=120
Задача 4. У Лены есть 8 разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разные по цвету.
Решение. Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестановкой 8 чисел 1,2, …, 8. Значит, таких перестановок 8!. Поэтому она может написать «Новый Год» 8!=40 320 способами.
Задача 5. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. 5!=120
Задача 6. Сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?
Решение. Это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=
Задача 7. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней она дает сыну по 1 фрукту. Сколькими способами это может быть сделано.
Решение. Р(2,3)=
Задача 8. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте было по 7 открыток?
Решение. Пометим конверты цифрами 1,2,3,4, тогда число различных раскладок равно Р(7,7,7,7)= 
. Вычислять это значение не будем, так как оно очень большое.
Сотрем пометки. Теперь конверты можно произвольно переставлять друг с другом, не меняя результата расклада (теперь они не отличаются друг от друга). Так как число различных перестановок четырех конвертов равно Р4=4!, то число различных раскладов уменьшается в Р4=4! и поэтому оно равно 
.
Задача 9. Сколькими способами можно усадить за стол трех мальчиков и трех девочек так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
Решение. 3!∙3!=36 способами
6. Итог урока
- Что такое перестановки без повторений?
- По какой формуле находится число перестановок без повторений?
Урок 9. Сочетания
Цели:
· познакомить учащихся с сочетаниями без повторений и с повторениями;
· закрепить новые формулы с помощью решения задач.
Оборудование: аншлаги с формулами
Ход урока
1. Сообщение темы и целей
2. Домашнее задание на карточках
1) Из 20 учащихся кружка математики четверых необходимо отправить на олимпиаду. Сколькими способами можно составить команду?
Решение: 
3) В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?
Решение: 
· 
= 
= 100.
3) Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 5, 6, 7, 8, 9? Сколько из них равносторонних, равнобедренных и разносторонних?
4. Повторение
1) Назовите формулу размещений без повторений, размещений с повторениями, перестановок без повторений и перестановок с повторениями;
2) Назовите правила произведения и суммы.
5. Работа по новой теме
5.1. Понятие «сочетаний без повторений»
Задача: рассмотрим все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три розы из данных пяти роз разного цвета, например: белая, красная, черная, желтая и чайная.
Введем определение:
Сочетаниями без повторений из n элементов по т элементов называются соединения, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов.
Число сочетаний из п элементов по m обозначают 
и читают «С из n по m».
Два сочетания из п элементов по т отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.
Число сочетаний без повторений равно: 
Понятие «сочетаний с повторениями»
- Число сочетаний с повторениями из n элементов по m выражается через число сочетаний без повторений.
- Назовите формулу числа сочетаний без повторений.
Найдем число сочетаний с повторениями из четырех элементов А, Б, В, Г по три элемента:
| ААА | АБВ | БББ | ГГГ |
| ААБ | АБГ | ББВ | ВВВ |
| ААВ | АВВ | ББГ | ВВГ |
| ААГ | АВГ | БВВ | ВГГ |
| АББ | АБГ | БВГ | ГГГ |
Число сочетаний с повторениями обозначается символом 
. В данном случае мы получили 
, тогда как число сочетаний без повторений из четырех элементов по 3 есть 
.
Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид:
Решим предыдущую задачу с помощью этой формулы.
Сочетание с повторениями из m элементов по n элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до n включительно, либо совсем не содержать его. Во всех случаях два соединения не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.
Похожие работы
... обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметов по интересам и склонностям. В соответствии с требованиями была разработана программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса. 2.2 Программа факультативного курса Пояснительная записка В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: ...
... выборок. 5. Исследовательские проекты и их защита. 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 Всего 10 5 10 Итого 60 34 Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы 2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием ...
... уметь приобретать, обрабатывать и эффективно применять информацию. В ходе выполнения контрольной работы были изучены логические основы работы ЭВМ, основные понятия и операции алгебры логики, а также прикладного программного обеспечения. В настоящее время термин «информация» является одним из самых распространенных. Для переработки информационных ресурсов применяют специальные технологии - ...
... игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно . Размещения и сочетания с повторениями Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний . Примеры ...
0 комментариев