Приклади на застосування теореми "Штольца"

5. Приклади на застосування теореми "Штольца"

1. Обчислити

Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як. Бернуллі):

якщо п - натуральне число, більше одиниці, і ?>1, те

 (*)

Дійсно, поклавши ? =1+?, де ? > 0, по формулі Бінома Ньютона будемо мати:

тому що ненаписані члени позитивні, те

,

що рівносильне нерівності (*).

так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що ? > 0, маємо по формулі Бінома Ньютона

.

Тому що для n > 2, мабуть, , те остаточно,

При k = 1, одержуємо відразу

так що

Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1, те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)

так що

 (а > 1).

Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим більш буде вірний і для k < 1.

Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить відразу

2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступної цікавої пропозиції (Коші):

Якщо варіанта а_п має межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта

(«середнє арифметичне» перших п значень варіанти а_п).

Дійсно, думаючи по теоремі Штольца

маємо:

Наприклад, якщо ми знаємо, що , те й

3. Розглянемо тепер варіанту (уважаючи до - натурального)

,

яка представляє невизначеність виду .

Думаючи в теоремі Штольца

будемо мати

АЛЕ

так що

використовуючи наступне твердження

,

Другий множник тут має кінцева межа . Якщо ступеня багаточленів рівні k = l, то межа відносини багаточленів дорівнює межі відносини коефіцієнтів при старших ступенях багаточленів.

Якщо k < l, то розглянуте відношення прагне до

Якщо k > l, то розглянуте відношення прагне до

у підсумку ми одержуємо

Висновок

 

У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема в достатній мері полегшує процес знаходження меж невизначених виражень , допомагаючи обчислити шукану межу, не прибігаючи до допоміжних нерівностей.

Список літератури

1. Г.М. Фихтенгольц. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

2. Б.П. Демидович. Збірник задач і вправ по математичному аналізі. - К., 2001

3. Л.Д. Кудрявцев. Курс математичного аналізу, т. 1. - К., 1998.