Класи абелевих алгебр і їхнї властивості

4. Класи абелевих алгебр і їхнї властивості

Як уже було відзначено в параграфі 3, алгебра  називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенцій

називаний центральним, що

для кожного .

Визначення 4.1. У випадку, якщо для нильпотентной алгебри  в центральному ряді , тобто якщо для неї , то алгебра  називається, абелевої.

Лема 4.1. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай  підалгебра абелевої алгебри .

Тому що по визначенню , то на  існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Розглянемо конгруенцію

Дійсно, якщо

для , те

і для кожної -арної опеации  маємо

Але оскільки  підалгебра алгебри , одержуємо

Виходить,  підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента  має місце

Таким чином,  конгруенція на алгебрі .

Нехай

тоді

те  Якщо , те

і, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і значить .

Отже, конгруенція  задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.

Лема 4.2. Фактор-Алгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай алгебра  – абелева, тобто . Покажемо, що для будь-якої конгруенції  на  виконується

Нехай  – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення  на алгебрі  в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , , , , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що  – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що  задовольняє визначенню 2.1. Нехай

тоді

Нехай

Тоді , і по визначенню 2.1

При цьому  й . Відповідно до наших позначень одержуємо, що

Нехай

Тоді найдуться , що

и

При цьому

Отже,

Але тоді по визначенню 3.1. . А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Лема 4.3. Прямий добуток кінцевого числа абелевих алгебр абелево.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо ,  і  – абелеви алгебри, те  – абелева алгебра.

Нехай  і . Це означає, що на алгебрах  і  задані конгруенції  й  задовольняюче визначення 2.1.

Визначимо бінарне відношення  на алгебрі  в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

и

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що  – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що  задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді

Нехай . Це означає, що  й . Але тоді

и

Отже,

Нехай

тоді

І

Це означає, що  й . У такий спосіб

Лема доведена.

Результати, отримані в лемах 4.1, 4.2, 4.3 можна тепер сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8 Клас всіх абелевих алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Нехай  – конгруенція на алгебрі .  – підалгебра алгебри ,  і . Тоді введемо нове позначення

Лема 4.4. Нехай визначена множина . Тоді  – конгруенція на ,

Доказ:

Тому що , те для будь-якого елемента  завжди найдеться такий елемент , що . Отже,

де .

У такий спосіб .

Нехай тепер , . Тоді

де . Отже, для кожної -арної операції  одержуємо

Тепер, оскільки , те по лемі 3.2  – конгруенція на .

Нехай . Тоді, мабуть,

. Тому що

те

Покажемо тепер, що . Допустимо противне. Тоді найдеться така пари , що  й . З визначення  треба, що існує така пари , що

Тому що

те застосовуючи мальцевський оператор  одержуємо

З леми 2.2. тепер треба, що .

Отже, . Лема доведена.

Підалгебра  алгебри  називається нормальної в , якщо  є суміжним класом по деякій конгруенції алгебри .

Лема 4.5. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри є нормальною.

Доказ:

Нехай  – підалгебра абелевої алгебри . Тому що , те по лемі 4.4. на  існує така конгруенція , що

Лема доведена.

Висновок

Таким чином, у даній роботі ми докладно з доказами на підставі результатів робіт [3] і [4] виклали теорію централізаторів конгруенції універсальних алгебр і розглянули формаційні властивості нильпотентних алгебр, на підставі результатів 3 увели поняття абелевої алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] довели наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр із мальцевського різноманіття утворить спадкоємну формацію.

Список літератури

[1] Кушніров Л.О., Елементи загальної алгебри. – К., 2003

[2] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формації алгебраїчних систем. – К., 2004

[3] Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

[4] Русаков С.О., Алгебраїчні -арні системи. – К., 2003

[5] Кон П., Універсальна алгебра. – К., 2004

[6] Ходалевич О.Д., Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр . – К., 2004

[7] Ходалевич О.Д. Формаційні властивості нильпотентних алгебр . – К., 2004

[8] Ходалевич А.Д. Прикладна алгебра . – К., 2004