Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

1. f[t]=e. Rep>Reλ, λ

2. f[t]=Sin[ωt], ωR

За формулами Ейлера маємо

Sin[ωt]=

Тому за допомогою 1 маємо:

3. f[t]=cos[ωt], ω L[cos[ωt]][p]=

Доведення аналогічне.

4. f[t]=Sh[ωt], ωR

За означенням гіперболічних функцій Sh[ωt]= /2

5.

Доведення аналогічне.

6.

За властивістю 2.2 маємо:

Зокрема

7.

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.

(3.1)

(3.2)

4. Обернене перетворення Лапласа

 

Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

(4.1)

Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.

Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:

1)  При будь-якому  існує інтеграл:

2)  Для

 - дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)

, при

Тоді,  - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()

Доведення

Розглянемо прямокутний контур  (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р] при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору .

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка

Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по  збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру  в півплощині , що складається з дуги кола  радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :

В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при  

 

■

При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як

 при R→∞

 

Лема Жордана. Нехай t>0 і  - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція  задовольняє умовам:

 функція  неперервна при  , ,

 

Тоді  при R→∞

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування

z=R.

Тоді справедлива оцінка інтеграла

Як відомо, при  . Продовжимо оцінку інтеграла

При R→∞. Лему доведено■

Задача Знайти перетворення Лапласа функції

 (5.1)

Введена гамма-функція

Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо

Нехай далі  і  . Для визначеності будемо вважати , (випадок  розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.

Далі маємо:

(5.2)

де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур  (мал. 5.1). За теоремою Коши:

Оцінимо інтеграл по дузі  і кола радіуса R

при R→∞.

Перейдемо до границі при R→∞, →0 в рівності (5.3), отримуємо

Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).