Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:

где  невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

 

|e| - количество элементов множества e.

При q=∞ положим

Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].

Будем говорить что {A^N} ↪ {B^N} если существует константа c, такая что  для любого , где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q₁≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, . Тогда имеет место вложение

↪

то есть

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

(1)

то есть ↪

Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q₁< ∞, и воспользуемся неравенством (1)

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p₁<∞, 1≤q,q₁≤∞. Тогда имеем место вложение

↪

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p_{1 :}

↪

Получаем:

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= . Тогда

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от.

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

(2)

Заметим, что

Поэтому

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть . Учитывая выбор  имеем.

~

~

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть ↪.

Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения:

Тогда

.

Пусть для определенности

.

Возможны следующие случаи:

.

В первом случае получаем, что

.

Во втором случае , следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее  - целая часть числа .

Получаем

Заметим, что существует  такое, что

Положим  Тогда .

.

Таким образом, получаем

Из того, что

Имеем

То есть . Следовательно ↪ где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств  определим интерполяционные пространства  аналогично [5] .

Пусть  , тогда

где

При q=∞

Лемма 4.4 Пусть  , d>1. Тогда

 

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞, M – произвольная сеть. Тогда

↪

где

Доказательство.

Учитывая, что ↪нам достаточно, доказать следующее вложение

↪

Пусть  Рассмотрим произвольное представление a=a₀+a₁, где

 тогда

 (3)

Так как представление a=a₀+a₁ произвольно, то из (3) следует

Где  Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

 лемму 4.4 , получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞, Тогда имеет место равенство

Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что  является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

↩

.

Определим элементы  и  следующим образом

 , тогда .

Заметим что

 (4)

где

(5)

где

Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

~

где .

Таким образом, получаем, что  Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

~

~

~

Таким образом, получаем

где c не зависит от .

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть  - матрица   , тогда

~

Причем соответствующие константы не зависят от

Доказательство.

Воспользуемся эквивалентными представлением нормы  и неравенством о перестановках, получим

~

где  - невозрастающая перестановка последовательности

Применим неравенство Гельдера

Учитывая лемму 3, имеем

Обратно, пусть e произвольное множество из M₁,  , где

Тогда

В силу произвольности выбора e из M₁ получаем требуемый результат.

Следствие. Пусть  - матрица   

p₀<p₁, q₀<q₁,  тогда

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что

Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем

то есть

С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем

,

Следствие доказано.

 

Заключение

В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.

Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.

Список использованной литературы

1.  Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

2.  Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

3.  Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491.

4.  Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.

5.  Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.

6.  Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178.

7.  Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107.

8.  Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.