Уравнение Блоха

2. Уравнение Блоха

Уравнение Блоха является основой для анализа электромагнитных процессов, возникающих при ЯМР. Оно получено из феноменологических представлений (не физических) и хорошо описывает поведение макросистемы в магнитном поле. Это уравнение имеет вид

. (3)

Член  отражает незатухающую прецессию (ротацию), где произведение пропорционально w, т.е. 1/t; векторная сумма  - поперечная намагниченность; Т₁ и Т₂ - постоянные времени продольной и поперечной релаксаций. Форма второго и третьего слагаемых уравнения Блоха говорит о том, что процесс релаксации предполагается экспоненциальным. Это допущение справедливо для жидкостных сред (ликворов), однако является весьма приближенным для жиров, серого и белого вещества мозга и совсем далеко от истины для твердых образований, у которых Т₁ и Т₂ очень малы.

Положим, что Т₁ и Т₂ весьма велики. Тогда вторым и третьим членами в уравнении (3) можно пренебречь. Допустим также, что Н = Н₀ и Н = kН₀. Тогда уравнение Блоха примет вид

 . (4)

Начальные значения составляющих М обозначим как . Представим М в виде , где i, j, k – орты, и выполним перемножение векторов согласно правилу, которое записано в виде таблицы.

Сравнивая левые и правые части в (4), находим

. (5)

Решим систему (4.5), положив . Знак "минус" здесь необходим для правильного отражения действия градиентных полей, в чем убедимся далее. Дифференцируя первое уравнение системы (5), с учетом второго получаем

 или .

Это уравнение незатухающих колебаний, решение которого с учетом начальных условий можно записать в виде

.

Полное решение системы (5) будет иметь вид

,

, (6)

.

При учете в уравнении Блоха членов, содержащих Т₁ и Т₂ первое и второе уравнения системы (6) следует умножить на exp(-t/T₂), а третье уравнение примет вид

.

Из этой формулы видно, что продольная намагниченность является апериодической неосциллирующей функцией.

Поперечную намагниченность можно представить в компактной комплексной форме

 или , (7)

где  , .

Чтобы понять, как осуществляется управление прецессией, кратко рассмотрим устройство и действие магнитной системы МР-томографа (более подробно речь о ней пойдет впереди). Она представляет собой сложную конструкцию и состоит из главного магнита, градиентных, корректирующих и радиочастотных катушек. Главный магнит служит для создания сильного и однородного магнитного поля. Он может быть выполнен в виде соленоида с током (резистивный магнит). При больших индукциях (свыше 0,5 Тл) потери в таком магните становятся чрезмерно большими. В этом случае применяют сверхпроводящие (криогенные) магниты, охлаждаемые жидким гелием. Их стоимость очень велика, но зато диагностические возможности МР-томографов с такими магнитами намного выше. Применяют также постоянные магниты со слабым полем (0,1- 0,15 Тл).

Корректирующие катушки создают слабые постоянные магнитные поля, предназначенные для компенсации неоднородностей поля главного магнита, которая должна быть не более 10^-6 .

Градиентные катушки осуществляют управление процессом выбора и сканирования сечения. При изменении тока в этих катушках очень незначительно меняется основное поле и соответственно изменяется ларморова частота в отдельных точках пространства. Градиентных катушек три: соответственно для создания градиентных полей по осям x, y и z. Особенностью градиентных полей является то, что векторы их напряженностей в любой точке направлены параллельно оси z, т.е. вдоль оси главного магнита, а их абсолютные значения линейно зависят от соответствующей координаты (рис.4).

Рисунок 4. Поля градиентов.

При действии градиентных полей результирующее поле будет равно

 или ,

где r- обобщенная координата точки. Градиенту G(r) соответствует ларморова частота

w(r) = g(H₀+Gr), а величина M(t,r) будет определяться выражением, аналогичным (7):

. (8)

Если формировать статический градиент G во время наблюдения сигнала, частота колебаний намагниченности начинает зависеть от r. Эта пространственная зависимость сказывается на характере выходного сигнала. Если сформировать градиентный импульс малой длительности t (t << T₁, T₂), то в выражении (8) можно пренебречь величиной t/T₂(r):

. (9)

Величину  в (9) можно рассматривать как изменение фазы колебания с частотой w₀. Рассмотрим теперь действие ВЧ магнитного поля H₁(t) при наличии поля главного магнита. Как было сказано ранее, это поле возбуждается РЧ катушками в поперечном направлении. Будем считать, что оно направлено вдоль оси х и запишем его в виде . Такое поле называют линейно поляризованным. Его можно записать в тождественной форме

+.

Это выражение представляет собой сумму полей с круговой поляризацией с разным направлением вращения. Причем, при выборе g со знаком "минус" в уравнении Лармора (w = -gН), вторая составляющая практически не влияет на прецессию ядер и ею можно пренебречь. Таким образом,

.

Это поле называется эффективным.

Пусть время действия РЧ импульса намного меньше самой малой постоянной релаксации (минимальное время Т₂ тканей составляет 40 мс). Тогда уравнение Блоха будет иметь вид

,

где  +, H = H₀ + h, h = Gr – вклад градиентной системы. С учетом правила перемножения векторов найдем

- ,

, (10)

.

Для упрощения решения этой системы введем вращающуюся систему координат i¢, j¢ и k¢= k, которая вращается с частотой прецессии, т.е. синхронно с вектором намагниченности. При этом одна из проекций может быть равной нулю или оказаться постоянной величиной. Преобразование проекций поясняется с помощью рис.5.

Рисунок 5. Преобразование координат

С помощью зависимостей (11), используя уравнения системы (10), можно получить уравнения для вращающейся системы координат

, (12)

.

Положим в системе (12) w = w₀. Учитывая w₀ = – gН₀, имеем gН + w₀ = g(Н₀ +h) – gH₀ = gh. Здесь проявляется необходимость введения знака " минус" в уравнении Лармора. Иначе бы gН + w₀ » 2w₀. Рассмотрим частный случай статического поля (h =0) и воздействия ВЧ поля H₁(t). В этом случае система (12) примет вид

 , . (13)

Величина  имеет размерность угловой частоты. Обозначим . Тогда решениями уравнений (13) будут

 (14)

Из соотношений (14) видно, что вектор намагниченности вращается вокруг оси i’ c угловой скоростью . Это вращение относительно медленное и называется нутацией. Угол нутации равен  или , t - время действия РЧ импульса H₁(t). (15)

Таким образом, угол нутации зависит от величины и времени воздействия РЧ импульса. Траектория вектора намагниченности при этом подобна раскрывающемуся вееру (рис.6).

Рисунок 6. Нутация вектора намагниченности.

Наиболее часто применяют РЧ импульсы, которые приводят к повороту вектора намагниченности на 90^о и на 180^о (90^о - и 180^о - импульсы).