Теорема Гаусса і її використання

3. Теорема Гаусса і її використання

У випадках розрахунків напруженості електричного поля не- точкових зарядів, виникають певні труднощі. В таких випадках напруженість електричного поля розраховують за допомогою методу суперпозиції. Для цього, просторово розміщені заряди ділять на точкові й методом інтегрування (принцип суперпозиції), знаходять відповідну напруженість. Покажемо це на прикладах:

Приклад 1. Визначити напруженість електричного поля біля безмежної, рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною зарядів  (рис. 6.7).

Скористаємось формулою напруженості точкового заряду (6.2.6)

dE = , (6.3.1)

де dq – це заряд заштрихованої безмежно малої ділянки поверхні; x – відстань від цієї ділянки до точки А, в якій розраховується напруженість електричного поля Е.

Рис. 6.7

З рисунка видно, що x² = z² + r², а dq = rd dr, й dE_z = dEcos.

З урахуванням цих позначень одержуємо:

.  (6.3.2)

Але оскільки соs = , тому

.

Інтегруємо цей вираз у межах: для r від 0 до ; для  від 0 до 2, одержимо:

З розрахунків видно, що напруженість електричного поля біля безмежної, рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною зарядів , визначається досить простою формулою і не залежить від відстані до самої площини

(6.3.3)

Приклад 2. Визначити напруженість електричного поля на відстані а від тонкої, досить довгої, рівномірно зарядженої, із лінійною густиною зарядів  нитки або циліндра (рис 6.8).

Рис. 6.8

Скористаємось формулою (6.2.6)

dE = .

З рисунка видно, що: dq = dl і dS = rd, а також dS = dl·cos.

З урахуванням цих залежностей одержуємо величину точкового заряду:

dq =  .  (6.3.4)

Тоді напруженість електричного поля у напрямі осі у E_y – буде дорівнювати

dE_y= dEcos =  = .

Величину радіуса-вектора r виразимо через відстань а і кут :

 r = .

З урахуванням останнього одержимо:

dE_y =  .  (6.3.5)

Інтегруємо останній вираз у межах зміни  від 0 до , помноживши весь вираз на 2 (враховується друга, симетрична частина нитки).

.

Таким чином одержано досить просту залежність напруженості електричного поля біля довгої, рівномірно зарядженої нитки або циліндра:

Е =  . (6.3.6)

Паралельна складова напруженості Е_x,завдяки симетричності нитки, буде дорівнювати нулю.

Знайдемо потік вектора  напруженості електричного поля крізь замкнену поверхню ( рис. 6.9)

Рис. 6.9

,  (6.3.7)

де  - величина площі заштрихованої поверхні,  - нормаль до поверхні (одиничний вектор).

З рисунка видно, що

де  - тілесний кут.

Площа поверхні кулі  (тут  є тілесним кутом).

Таким чином одержуємо:

.  (6.3.8)

Інтегруємо цей вираз у межах замкнутої поверхні і повного тілесного кута для цієї поверхні, тобто

.

Одержаний вираз носить назву теореми Гаусса

. (6.3.9)

Якщо замкнута поверхня охоплює систему зарядів, теорема Гаусса набуде вигляду

.  (6.3.10)

Потік вектора напруженості електричного поля крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі всіх зарядів у середині цієї поверхні, поділених на ₀.

Покажемо на прикладах, як використовується теорема Гаусса у найпростіших випадках.

Приклад 1. Електричне поле біля безмежної, рівномірно зарядженої, із поверхневою густиною зарядів σ, площини ( рис. 6.10).

Рис. 6.10

На рисунку заряджена площина спроектована перпендикулярно до площини листка. Замкнена поверхня є циліндром із площею торців S. Потік вектора напруженості в даному випадку слід розрахувати лише крізь торці. Лінії напруженості електричного поля паралельні до бокової поверхні, а тому потоку не створюють, тобто

.  (6.3.11)

За теоремою Гаусса

.  (6.3.12)

Прирівнявши праві сторони (6.3.11) і (6.3.12) одержимо:

.

Цей висновок збігається з формулою (6.3.3).

Приклад 2. Електричне поле на відстані a від довгої, рівномірно зарядженої з лінійною густиною зарядів τ, нитки (рис. 6.11).

Рис. 6.11

На рисунку замкнуту поверхню вибрано у вигляді циліндра радіусом а і довжиною h. Потік силових ліній слід розглядати лише крізь бокову поверхню, так як торці перпендикулярні до нитки й паралельні до напрямку силових ліній електричного поля. (Потік крізь торці в цьому випадку дорівнює нулю).

. (6.3.13)

За теоремою Гаусса

. (6.3.14)

Прирівнюємо праві частини (6.3.13) і (6.3.14), одержимо

=.

Звідки

, (6.3.15)

що збігається з формулою (6.3.6)

Висновок. Теорема Гаусса значно спрощує розрахунки, але має дуже вузькі рамки використання. Більш загальним, універсальним методом розрахунків напруженості електричного поля є метод суперпозиції, який у кінцевому випадку зводиться до інтегрування.