Формули приведення для Беселевих функцій

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

, ;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція  (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс  на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію  раз, де  – будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс  на одиницю. Застосовуючи цю операцію  раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де  – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

. (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але , тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему  функцій  (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де  – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному  (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

 (16)

(де x лежить в області визначення функцій системи ,  – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція , де  пробігає деяку множину,  перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо  при кожному  аналітичне відносно  усередині відповідного кільця, тобто  виробляюча функція деякої системи  функцій. Справді, розклавши при кожному  функцію  в ряд Лорана по ступенях :

,

знайдемо, що система коефіцієнтів  цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції  розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності  в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами  (…) виробляюча функція є:

.

Маємо:

, ,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі  й  були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при  це буде ; при  це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є  в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що  є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

 (18`)

 (18``)

Заміняючи в (18`) і (18``)  на , знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при  маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що  є парна функція від  є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при  знайдемо:

. (19`)