Исследовать ряд на сходимость

3. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Так как , то рассмотрим ряд

, тогда

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Тогда,

Так как , то ряд  сходится. Значит, исходный ряд  сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд  сходится.

4. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.

Сравним ряд  с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:

,

Тогда,

Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд  - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд  тоже сходится.

Ответ: ряд  сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как , то ряд  расходится.

Ответ: ряд  расходится.

6. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Рассмотрим ряд

 .

Поскольку  при :

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как , то ряд  сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд .

Ответ: ряд  сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α..

 α. = 0,001.

Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.

 - числовой знакочередующейся.

Воспользуемся признаком Лейбница:

1)

2)

Следовательно, ряд  условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .

Воспользуемся признаком Даламбера:

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Следовательно, ряд

  сходится абсолютно.

Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а₁ = -1,5 а₂ = 0,1042 а₃ = - 0,0016 а₄ = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута.

Следовательно:

.

Ответ: .