Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в

3. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в.

Следствие 3. Справедливы следующие предельные отношения.

Дифференциальная функция распределения (ДФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ) (плотность вероятности).

ДФ f(x) распределения вероятностей НСВ называют первую производную от ИФР:

f(x)=F’(x)

Часто вместо ФДР говорят плотность вероятности (ПВ).

Из определения следует, что, зная ИФ F(x) можно найти ДФ f(x). Но выполняется и обратное преобразование: зная ДФ f(x), можно найти ИФ F(x).

;

;

Вероятность того, НСВ Х примет значение, принадлежащее (а;в), находится:

А). Если задана ИФ – следствие 1.

Б). Если задана ДФ

Свойства ДФ.

1. ДФ – не отрицательная, т.е. .

2. несобственный интеграл от ДФ в пределах (), равен 1, т.е. .

Следствие 1. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то .

Примеры. №263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з.

Числовые характеристики НСВ.

1. Математическое ожидание (МО) НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:

Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то МО определяется по формуле:

Все свойства МО, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

2. Дисперсия НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:

Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то дисперсия определяется по формуле:

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

3. Среднее квадратичное отклонение НСВ Х определяется также, как и для дискретных величин:

Примеры. №276, 279, Х, д/з.

Операционные исчисления (ОИ).

ОИ представляет собой метод, позволяющий свести операции дифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям: умножение и деление на аргумент так называемых изображений этих функций.

Использование ОИ облегчает решение многих задач. В частности, задач интегрирования ЛДУ с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений, сводя их к линейным алгебраическим.

Оригиналы и изображения. Преобразования Лапласа.

f(t)-оригинал; F(p)-изображение.

Переход f(t)F(p) называется преобразование Лапласа.

Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p), зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой:

Этот интеграл называется интеграл Лапласа. Для сходимости этого несобственного интеграла достаточно предположить, что в промежутке f(t) кусочно непрерывна и при некоторых постоянных М>0 и  удовлетворяет неравенству

Функция f(t), обладающая такими свойствами, называется оригиналом, а переход от оригинала к его изображению, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа.

Непосредственное определение изображений по формуле (2) обычно затруднено и может быть существенно облегчено использованием свойств преобразования Лапласа.

Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) и g(t) соответственно. Тогда имеют место следующие свойства-соотношения:

1. С*f(t)С*F(p), С=const -свойство однородности.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) –свойство аддитивности.

3. f(t)F(p-) -теорема смещения.

4.  

переход n–ой производной оригинала в изображение (теорема дифференцирования оригинала).

5. y”+py’+qy=0; f(x)=e^axP_n’(x)

Теорема дифференцирования изображения

 

Таблица изображений основных элементарных функций. Нахождение изображений по оригиналу (переход от оригинала к изображению).

1	11/p	5	tnn!/p(n+1)	9
2	CC/p	6
3		7		10
4	t1/p2	8

Нахождение оригинала по изображению (обращение изображения - ОИ).

Отыскание оригинала по известным изображениям называется обращением изображения.

В простейших случаях эта операция выполняется с помощью таблицы и свойств преобразования Лапласа. При интегрировании дифференциальных уравнений возникает необходимость обращать правильные рациональные дроби. Всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей вида:

А).A/(p-a); Б).A/(p-a)ⁿ; В).(Ap+B)/(p²+pa+b); Г). (Ap+B)/(p²+pa+b)²