Напружений і здеформований стан у точці навантаженого тіла. Види напруженого стану

26. Напружений і здеформований стан у точці навантаженого тіла. Види напруженого стану

Напружений стан за своєю природою не може залежати від сис-ми координат тобто є інваріантним. Тому його описують не тільки компонентами тензора

 ,

але й напругами, що не залежать від сис-ми відліку. Такі напруги називаються інваріантами напруженого стану. Теорією пружності доведено, що через будь яку точку завжди можна провести 3 взаємно перпендик площинки на яких буде відсутня дотична напруга. Такі площинки називаються головними. Нормальну напругу, що виникає в цих площинах називають головною напругою. В залежності від наявності головних напруг розрізняють наступні види напруженого стану:

- об’ємний напружений стан

тристороннього

розтягу. Н-д в точці

контакту колеса з

рейкою, кулі з

обоймою.

- плоский напружений стан двостороннього розтягу

Н-д в стінці

 резервуара, що

знаходиться під

дією внутр тиску

- Лінійний напружений стан

Н-д розтяг,

Стиск

27. Закон парності дотичних напружень

Дотичні напруги на двох взаємно перпендикулярних площинах рівні за величиною і обернені за напрямком. Закон парності дотичних напружень має загальний характер і діє завжди, коли в точці навантаженого тіла з будь яких причин виникає дотична напруга.

 

28. Напруга в нахилених площинах при лінійному напруженому стані

Розглянемо напружений стан звичайного центрального розтягу.

А – площина попер перер

А_α – площина нахиленого перер

Дослідимо 1 і 2 на екстремуми

σ_α = σ_max= σ при α = 0

Отже, найб норм напруга виникає в попер перер.

σ_α = σ_min= σ при α = 90º

в поздовжніх перерізах стрижнів прямолінійна напруга відсутня, тобто поздовжні волокна матеріалу не натикуються одне на одне

τ_α = τ_max= σ/2 при α = 45º

τ_α = τ_min= 0 при α = 0

Тобто в поперечних перерізах дотична напруга відсутня, отже попер перер є головною площиною.

 

29. Напруга в нахилених площинах при плоскому напруженому стані.

Розгляне плоский напружений стан двостороннього розтягу. Визначимо σ_α τ_α використавши принцип незалежності дії сил і ф-ли:

Дослідимо 3 на екстремуми

Звідси випливає, що τ = 0 тобто найб норм напруга виникає в тих площинках де немає дотичної напруги, тобто в головних площинах.

 

 

31. Кручення прямого круглого стержня. Розрахунки на міцність та жорсткість при крученні

Брус, що працює на кручення називається валом. При чистому крученні в поперечному перерізі вала виникає лише крутний момент Т. Його визначають методом перерізів, згідно з яким, крутний момент = алгебраїчній сумі зовнішніх зкручуючих моментів на один бік від перерізу. Графік залежності Т(х) називають епюрою згинних моментів.

Надійні вали повинні одночасно задовольняти 2 умови:

а) Умову міцності:

2 – умова міцності для ділянки вала

Умова міцності для всього вала:

з допомогою 2 і 3 р-нь можна розв’язати всі три типи задач ОМ.

б) Умову міцності:

θ_adm– допустиме значення відносного кута закручування.

 

32. Головні напруги при згині. Повна перевірка міцності балок

Визначимо головні напруги τ₁ τ₃ використавши графічну побудову Мора.

Виконуємо цю побудову для т. 4, якщо σ_х = σ; σ_y = 0; τ_yx = τ_xy = τ. Визначимо σ₁ σ₃ α - ? Т.А враховує напружений стан на боковій вертикальній грані. Т.В зображує напружений стан на горизонтальній грані. АВ – є діаметром круга Мора. Т.С є центром круга Мора. ДЕ точки, що зображують напружений стан на головних площинах, де τ = 0. Визначимо σ₁ і σ₃ використавши виконану побудову

Узагальнюючи 1 і 2 можна записати у вигляді:

Обов’язковою умовою є, що σ₁ > 0; σ₃ > 0.

Із побудови Мора можна визначити не тільки величину головних напруг, але й їх напрямки. Напрям головної напруги σ₁ збігається з з напрямком променя ЕА, що складає кут α з віссю σ. Визначимо кут α:

Головна площина зорієнтована під кутом 90º до напряму σ₁.

Повна перевірка міцності балок:

1) Повинна задовольнятись умова міцності за нормальними напругами в найб віддалених від н.о. точках, того перерізу, де виникає найб згинний момент.

2) Повинна виконуватися умова за дотичними напругами в точках, що належать н.о. того перерізу в якому виникає найб попер сила

3) Повинна виконуватися умова міцності за вибраною теорією міцності в точках де

різко змінюється ширина перерізу біля його краю, в якому поперечна силу Q, та згинний момент M одночасно найб або близькі до найб.

 

33. Переміщення при згині. Метод інтегрування найблженого диференціального рівняння зігнутої осі балки

 

Внаслідок навантаження балки центр мас А перерізу балки з координатою х здійснює переміщення в положення А₁. Згідно з гіпотезою малих деформацій будемо вважати, що центр мас попер перер зміщується вертикально. V_x – прогин балки в даному попер перер. Q_x – поворот балки, θ_x – кут повороту попер перер балки в наслідок навантаження.

Таким чином при згинанні має місце 2 переміщення: Q_x- кут переміщення, V_x

- прогин балки.

Отже кут повороту є першою похідною прогину. Ф-я V_x є р-ням пружної лінії балки – це геометричне місце центра мас попер перер.

На переміщення V_xта θ_x при поперечному згині балок впливають згинний момент М(х)та поперечна сила Q(x). Якщо не враховувати впливу Q(x) на переміщення V(x) та θ(x) то криву балки можна записати згідно з-ну Гука для згину

де ρ – радіус кривизни

М(х) – згинний момент в перерізі з координатою х.

Е – модуль пружності м-лу

І – мом інерції перерізу балки відносно нейтральної осі

ЕІ – жорсткість при згині

З математичного аналізу крива вираховується наступним чином

Прирівнявши праві частини 2 і 3 одержимо:

4 – є точним диф. р-ням пружної лінії балки, якщо визначається із знаком в правій частині.