Завдання 1.2

2.2 Завдання 1.2

Варіант 30

Перетворити модель, задану у виді системи нелінійних рівнянь до виду f 1(x) = y і f 2 (y)= x. Побудувати їхні графіки і визначити початкове наближення рішення. Вирішити систему нелінійних рівнянь.

Необхідно знайти інтервали значень функції для x та y таким образом:

Інтервал значень y:

-cos(x+2)+y=1.8

cos(x+2) = y-1.8

-1≤y-1.8≤1

0.8≤y≥2.8

Інтервал значень x:

cos(y-2)+x=0.3

cos(y-2)=0.3-x

-1≤0.3-x≤1

-1.3≤-x≤0.7

-0.7≤x≤1.3

Рішення засобами Excel.

Дану систему рівнянь можливо вирішити використовуючи команду «Пошук рішення».

Заносимо початкові данні у програму Excel (рис.2.9):

Рисунок 2.9 – Таблиця початкових даних

Для перевірки правильності введення формул необхідно включити режим відображення формул (рис.2.10):

Рисунок 2.10 - Дані в режимі відображення формул

Вікно «Пошук рішення» необхідно заповнити наступним чином (рис.2.11):

Рисунок 2.11 – Вікно пошуку рішень

Після виконання команди «Пошук рішення» ми побачимо результат обчислень (рис.2.12):

Рисунок 2.12 – Вікно з рішеннями

Виходячи із отриманих даних необхідно побудувати графік функції (рис.2.13):

Рисунок 2.13 – Графік функції системи нелінійних рівнянь

Результат:

x= -0.698, y= 2.065

Рішення засобами MathCAD

Рішення даної системи рівняння можна знайти за допомогою розв'язуваного блоку Given...Find.

Задамо початкові значення:

З використанням функції Find знаходимо точне рішення системи рівнянь.

Рисунок 2.14 – Рішення системи нелінійних рівнянь

Результат: x= -0.698; y= 2.065

Перевірка:

Щоб перевірити отримані значення підставляємо їх в дану систему рівнянь.

Рисунок 2.15 – Перевірка рішення системи нелінійних рівнянь

 

Рішення даної системи рівнянь було знайдено у декілька способів, за допомогою MS Excel та MathCAD, отриманні результати є однаковими, але методи які використовуються у цих програмах відрізняються.

2.3 Завдання

Задача А. Вирішити задачу проектування конусоподібного фільтра.

З круглої заготівлі (r = 2) фільтрованого паперу вирізають сектор з кутом θ, потім з іншого роблять фільтр у виді конуса. Необхідно розрахувати величину кута θ, при якій забезпечується максимальний обсяг конуса (рис.2.10).

R – радіус основи конуса; h – висота конуса; r – радіус заготівлі фільтрованого папера.

Рисунок 2.16 – Окружність та конус

 – довжина

 – формула для куска дуги

Знаходимо різницю

У конусі получили прямокутний трикутник АОВ, кут О = 90^о, h – катет у прямокутному трикутнику. Для знаходження катетів обчислимо корінь із різниці гіпотенузи r та катета R.

Цільова функція має вид:

Обмеження:

Розв’язання засобами Excel

Рисунок 2.17 – Розв’язання в Excel

Рисунок 2.18 – Пошук рішення

 

Необхідний кут θ дорівнює 66 градусів.

Рішення засобами MathCAD

Для рішення у MathCAD необхідно задатися початковими значеннями:

З використанням функції Maximize знаходимо оптимальний обсяг конуса.

Рисунок 2.19 – Розв’язання в MathCAD

Результат: кут θ дорівнює 66 градусів.

Дане рівняння вирішили різними методами й засобами в результаті одержали однакові відповіді, але методи рішення відрізняються. Тому що за допомогою програми MathCAD неможливо зрозуміти процес рішення задачі, що дозволяє зробити MS Excel.

Задача Б. Проектування 2 -х конусоподібних (пожежних) ребер.

З круглої заготівлі жерсті (r = 3) вирізають сектор з кутом , потім з іншого роблять цебро у виді конуса і з вирізаного сектора теж (тобто 2-а цебра) (рис.2.20).

Необхідно розрахувати величину кута , тобто як необхідно розкроїти заготівлю, щоб обсяг 2-х цебер був максимальним.

R – радіус основи конуса; h – висота конуса; r – радіус заготівлі.

Рисунок 2.20 – Окружність, велика заготівля, маленька заготівля

Формули для знаходження радіусу R, висоти h та обсягу V великої заготівлі:

Формули для знаходження радіусу R, висоти h та обсягу V маленької заготівлі:

Цільова функція має вид:

Обмеження:

Розв’язання засобами Excel

 

Рисунок 2.21 – Розв’язання в Excel

Рисунок 2.22– Розв’язання в MathCAD

Результат: кут θ дорівнює приблизно 117 градусів.

Пошук рішення даної задачі був виконаний з використанням різних програм та методів рішення, але результати обчислень є однаковими.

Задача 15. При яких розмірах прямокутного басейну даної місткості V(x,y,z) = 220м³ на облицювання його стін і дна буде потрібно найменша кількість матеріалу, тобто мінімум S(x,y).

Заносимо початкові в таблицю (рис.2.23):

Рисунок 2.23– Таблиця початкових даних

Для перевірки правильності введення формул необхідно включити режим відображення формул (рис.2.24):

Рисунок 2.24– Дані в режимі відображення формул

Вікно «Пошук рішення» необхідно заповнити наступним чином (рис.2.25):

Рисунок 2.25– Вікно пошуку рішень

Рисунок 2.26– Вікно з рішеннями

Рішення рівняння за допомогою MathCad

Так як наша задача полягає у знаходження мінімальної кількості матеріалу для виготовлення ємності, ми скористуємося функцією Minimize.

Рисунок 2.27 – Рішення задачі засобами MathCAD

Результат: a=0,76; b=0.76; h=0.38; S=0.1733.