Навигация
3.2 Кільце поліномів
3.2.1 Поняття кільця поліномів від однієї змінної
Нехай K і L – комутативні кільця з основними множинами К і L відповідно.
Означення. Кільце L називається простим розширенням кільця K за допомогою елемента u, якщо виконуються умови:
(1) K – підкільце кільця L;
(2) будь-який елемент a з L можна подати у вигляді
a=a0+a1u+ … +anun, де a0, a1,…, an ÎK.
Запис L= K[u] означає, що кільце L є просте розширення кільця K за допомогою елемента u.
У цьому випадку основну множину кільця L позначають також через К[u], L=K[u]
Означення. Кільце L=K[u] називається простим трансцендентним розширенням кільця K, якщо виконується наступна умова:
(3) для будь-яких елементів a0, a1,…, an множини К з рівності a0+a1u+ … +anun=0 випливають рівності a0=0, a1=0,…, an=0.
Якщо L=K[u] – просте розширення кільця K с допомогою u і u задовольняє умовам (3), то елемент u називається трансцендентним відносно K.
Якщо K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u, то кільце K[u] називається також кільцем поліномів від u над K, а елементи кільця K[u] – поліномами від u над K чи поліномами над K.
Твердження. Нехай K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u. Тоді для будь-якого елемента а кільця K[u], якщо а=a0+a1u+ … +anun і а=a¢0+a¢1u+ … +a¢nun, де ai, a¢iÎK, то ai=a¢i,
то ai=a¢i для i=1,2,…, n.
Доведення.
Якщо
а=a0+a1u+ … +anun=a¢0+a¢1u+ … +a¢nun (ai, a¢iÎK),
то a0–a0¢+(a1–a1¢) u+ … +(an–an¢) un=0.
За умовою, елемент u являється трансцендентним відносно K. Тому з (1) випливають рівності aі–aі¢=0 і aі=aі ¢ для і=0,1,…, n.
Доведено.
Задачі
№1
Перевіримо, чи є кільцем множина К всіх многочленів з кільця Z[x], в яких вільний член ділиться на 5.
Розв’язання.
Нехай f(x)=anxn+ … +a1x+5a0,
g(x)=bmxm+ … +b1x+5b0, m³n.
Тоді
f(x)+g(x)=bmxm+ … +(an+bn) xn+ … +(a1+b1) x+(5a0+5b0)=bmxm+ … +(an+bn) xn+ … + +(a1+b1) x+5 (a0+b0),
f(x) – g(x)=(–bm)xm+ … +(an–bn) xn+ … +(a1–b1) x+5 (a0–b0),
f(x)·g(x)=anbmxn+m+ … +(5a1b0+5a0b1)+5·5a0b0.
Це означає, що f(x)+g(x), f(x) – g(x) і f(x)·g(x) також є елементами множини К. Отже, К є підкільцем кільця Z[x].
Відповідь: Множина К утворює кільце.
№2
Довести, що для кожного многочлена f(x) з кільця Z[x] і для будь–яких цілих чисел a і b число f (a+
)+f (a–) є цілим.
Доведення.
Многочлени f (a+) та f (a–) мають такий вигляд
f (a+) =an(a+)n+ … +a1(a+)+a0,
f (a–) =an(a–)n+ … +a1(a–)+a0.
Коли ми будемо додавати f (a+)+f (a–) і підносити до степеня, то всі знищаться і залишаться лише цілі числа. Ми прийшли до того, що нам потрібно довести.
Доведено.
Похожие работы
... час; організація взаємодії і всебічного забезпечення дій; готовність засобів управління підрозділами. Командири підрозділів військ РХБ захисту зобов’язані своєчасно доповідати старшому командиру про отримане завдання, прийнятому рішенні, результатів застосування противником ЗМУ, виконанні завдання, нових відомостях про противника, радіаційній, хімічній та біологічній (бактеріологічній) обстановц ...
... чим вихідний полімерний матеріал) створюють дратівну дію, їхня присутність у зоні імплантації буде підтримувати вогнище хронічного асептичного запалення. Говорячи про вимоги, висунуті до полімерів медичного призначення, звичайно згадують і необхідність відсутності в них канцерогенної, мутагенної й іншої токсичної дій, хоча зараз ще не ясно, які саме властивості синтетичних полімерів визначають ці ...
... спектру дії Наявність загального родоспецифічного антигена. Все це визначає самостійне положення цих мікроорганізмів серед прокаріот [5]. 3. Характеристика будови та морфології представників роду Chlamydia 3.1 Морфологічні особливості Хламідії є групою прокаріотних мікроорганізмів і мають вид дрібних грамнегативних коків. Добре видні в не зафарбованому стані при мікроскопії ...
... заходів і здійснюється на засадах гласності і суворого додержання вимог законодавства, охорони прав громадян, підприємств та організацій[58][247]. Нарешті зазначимо, що значення адміністративного примусу в правоохоронній діяльності міліції в концентрованому вигляді виявляється в його призначенні та меті. Цей примус слід розглядати як один з найважливіших засобів здійснення державної влади, що ...
0 комментариев