Нормальные формы логических уравнений. Преобразование логических уравнений к заданному базису

6. Нормальные формы логических уравнений. Преобразование логических уравнений к заданному базису

Если при проектировании логических схем предъявляется требование получения максимального быстродействия, логическая схема строится на основе представления ПФ в нормальной алгебраической форме.

Всего существует 8 нормальных форм представления ПФ. Получим их на примере проектирования мажоритарной логической схемы (мажоритарного элементы) “2 из 3”, пронумеруем и дадим символьное обозначение путем указания операций первого и второго этапов логического преобразования.

Таблица истинности для мажоритарного элемента приведена в табл.2, карта Карно на рис.5. МДНФ для этой функции является первой нормальной формой. Следующие три нормальных формы получим путем последовательного преобразования МДНФ с применением тождеств двойной инверсии и теоремы де-Моргана. МКНФ – пятая нормальная форма, остальные получены путем ее преобразования.

= 1) И / ИЛИ

= 2) И-НЕ / И-НЕ

= 3) ИЛИ / И-НЕ

. 4) ИЛИ-НЕ / ИЛИ

 5) ИЛИ / И

==

= = 6) ИЛИ-НЕ / ИЛИ-НЕ

==7) И / ИЛИ-НЕ

=.8) И-НЕ / И

При проектировании логических схем в зависимости от наличия определенного типа элементов (базиса) используется соответствующая нормальная форма.

7. Скобочные формы логических уравнений

Для аналитического представления переключательных функций можно использовать не только нормальные формы, но и так называемые скобочные формы представления функций. Скобочные формы получаются путем тождественных преобразований МДНФ (МКНФ) с использованием скобок, изменяющих порядок (последовательность) логических преобразований. При вынесении общих членов за скобки порядок функции увеличивается. В практике проектирования логических схем к скобочным формам приходится обращаться в двух случаях: а) когда необходимо уменьшить аппаратные затраты и стоимость при реализации схем на логических элементах; б) когда число переменных и термов велико и реализация функций на основании МДНФ (МКНФ) с использованием стандартных логических элементов (с стандартным числом входов) невозможна. На рис.6,а представлена карта Карно логической функции, МДНФ которой

y = x₃ x₂ x₁ x₃ x₂ x₀  x₃ x₁ x₀ .(8)

Этой функции соответствует логическая схема второго порядка, показанная на рис.6,б. На основании законов дистрибутивности функцию (8) можно представить в форме

y = x₃ [ x₂ ( x₁x₀ )x₁ x₀ ],(9)

которой соответствует схема на рис.6,в. В этой схеме максимальное число последовательно включенных логических элементов равно четырем, т.е. логическая схема имеет четвертый порядок. Каждый логический элемент имеет конечное быстродействие, которое характеризуется задержкой распространения сигналов от входа к выходу. Чем выше порядок логической схемы, тем больше задержка сигналов, тем ниже быстродействие схемы. Это недостаток логических схем, реализованных на основе скобочных форм ПФ.

Положительное свойство таких схем – меньшая сложность (аппаратные затраты) и стоимость.

Существует несколько способов оценки сложности логических схем: сложность по Квайну, определяемая как суммарное число входов всех логических элементов; сложность, как число логических элементов; сложность как число условных стандартных корпусов микросхем.

Так, суммарное число входов логической схемы четвертого порядка (рис.6,в) равно 10, а логической схемы второго порядка (рис.6,б) – 12.

В общем случае быстродействие и сложность схемы (стоимость) жестко связаны, при проектировании логических схем можно “обменять” быстродействие на стоимость и наоборот.

Второй пример необходимости использования скобочной формы ПФ рассмотрим на примере проектирования мажоритарного элемента “2 из 3” в двух вариантах: когда допустимо использовать логические элементы И-НЕ с любым необходимым числом входов и когда можно использовать только 2-входовые логические элементы И-НЕ.

В минимальной ДНФ логическая функция мажоритарного элемента в базисе И-НЕ имеет вид

y = .(10)

Этому уравнению соответствует логическая схема второго порядка рис.7,а, в которой используются 2- и 3-входовые элементы И-НЕ.

Если для реализации схемы разрешается использовать только 2-входовые элементы И-НЕ, то уравнение (10) преобразуется в скобочную форму

y =,(11)

которому соответствует логическая схема четвертого порядка рис.7,б, которая хуже схемы рис.7,а по характеристикам быстродействия и сложности. Ухудшение характеристик оправдывается только возможностью реализации схемы на заданных стандартных элементах.

 

8. Комбинационные схемы

Логическая схема (рис.8) с n входами и k выходами реализует систему переключательных функций y₀ ...y_k-1. Каждая функция y_i(x₀ ...x_k-1) однозначно соответствует входным наборам сигналов, комбинациям входных сигналов. Такие цифровые устройства образуют класс комбинационных схем (КС). Их часто называют схемами без обратных связей, или схемами без элементов памяти.

КС с несколькими выходами может быть представлена в виде совокупности схем, у каждой из которых лишь один выход. Работа каждого выхода описывается либо таблицей истинности, либо логическим уравнением.

В цифровой технике применяется большое число типовых (стандартных) КС, выполненных в виде интегральных схем малой и средней степени интеграции. Все многообразие КС, применяемых в цифровых устройствах, можно классифицировать по их основному функциональному назначению – по типу логической задачи, которую может решать КС в цифровом устройстве. По функциональному признаку можно сформировать следующие группы КС.

Логические элементы (ЛЭ) общего назначения, выпускаемые в виде готовых интегральных логических схем малой степени интеграции. К ним относятся ЛЭ, представленные на рис.9. Они образуют технически полную систему элементов, т.е. удовлетворяющую требованиям функциональной и физической полноты.

Функционально полная система элементов – система позволяющая реализовать любые, сколь угодно сложные ПФ путем представления их через типовые (базисные) функции. Физически полная система элементов – система, обеспечивающая работоспособность и надежное взаимодействие элементов при всевозможных комбинациях связи между ними (совместимость входных и выходных сигналов при воздействии на элемент нагрузок и дестабилизирующих факторов, при разбросе параметров и характеристик элементов и т.п.).

Преобразователи кодов – дешифраторы, детекторы состояний, шифраторы, преобразователи специальных кодов, ПЗУ и др.

Коммутационные узлы – ключи, мультиплексоры, мультиплексоры-демультиплексоры и др.

Арифметические узлы – схемы контроля на четность, сумматоры, схемы ускоренного переноса, арифметико-логические устройства, числовые компараторы, умножители и др.

Основными задачами изучения КС являются задачи анализа и синтеза этих схем. Задача анализа – нахождение функции, реализуемой конкретной схемой. Задача синтеза – преобразование заданной логической функции к форме, в которой ПФ представлена через логические функции заданных для реализации элементов. Например: через логические функции ЛЭ основного базиса, универсального базиса; через логические функции, реализуемые дешифратором, мультиплексором и т.п.

Список литературы

1.Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые устройства: Учеб. пособие для втузов. СПб.: Политехника, 1996.

2.Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. СПб.: БХВ-Петербург, 2001.

3.Потемкин И.С. Функциональные узлы цифровой автоматики. М.: Энергоатомиздат, 1988.

4.Голдсуорт Б. Проектирование цифровых логических устройств: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1985.