Использование определения логарифма

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,	c) log(x - 2)9 = 2,
b)	d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

или

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

 

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x - 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

 

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x+3 > 0,
	x+24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) 		log3x(x + 3) = log3(x + 24), x > 0,			
 x(x + 3) = x + 24, x > 0,	 x2 + 2x - 24 = 0, x > 0,		 x1 = -6, x2 = 4, x > 0,	 x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

 

x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

 

x² - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или  или log₂x = log₆3. Следовательно,

 

 

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8)	x2 - x ≥ x + 8,		x2 - 2x - 8 ≥ 0,
	x+8 > 0,		x > -8,

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x  (-8;-2][4;+∞).
		x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂