Вычислительные методы
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
Метод Ньютона (метод касательных)
Метод секущих (метод хорд)
Постановка задачи
Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Метод Зейделя
Интерполяция функции многочленами Лагранжа
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Квадратичная аппроксимация (m = 2)
Линейная аппроксимация (m =1)
Постановка задачи численного интегрирования
Метод трапеций
Правило Рунге практической оценки погрешности
Метод Эйлера
Модифицированные методы Эйлера
Метод Рунге – Кутта
Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения Гаусса
Навигация
Метод Рунге – Кутта
Вычислительная математика
100779
знаков
18
таблиц
23
изображения
6.4 Метод Рунге – Кутта
Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения
y' (t) = f(t, y(t))
с начальным условием y(t0 ) = y0.
Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = 
и построим сетку с системой узлов ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.
Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.
Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
yi+1 = yi + 
h(k
+ 2k
+ 2k
+ k
),
k = f(ti, yi),
k = f(ti + 
, yi + k),
(6.17)
k = f(ti + , yi + k),
k = f(ti +h, yi + hk),
i = 0, 1, …, n.
Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R » 
|y
- y
|. (6.18)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:
R » |y- y| < e. (6.19)
Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.
Пример 6.4.
Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.
y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = 
= 10.
В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:
yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),
k = 2tiyi,
k = 2(ti + )(yi + k),
(6.21)
k = 2(ti + )(yi + k),
k = 2(ti +h)(yi + hk),
i = 0, 1, …, 10.
Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e
, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями ei = | y(ti) – yi|.
Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi и их погрешности ei представлены в таблице 6.5:
Таблица 6.5
| ti | yi | ei | ti | yi | ei |
| 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 | 1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403 | 10-9 4×10-9 2×10-8 6×10-8 2×10-7 | 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 | 1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827 | 5×10-7 2×10-6 3×10-6 6×10-6 2×10-5 |
Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”
Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log10(1 +
), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.
Похожие работы
... . Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции. Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая чис- ловая матрица. Привести строку этой матрицы означает выде-лить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) ...
... если - предельная абсолютная погрешность приближённого числа , то (1.2) отсюда следует, что (1.3) Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи. Пример 2: Определить предельную абсолютную погрешность числа , заменяющего число , точное значение которого нам неизвестно. Так как мы знаем, что , ...
... удивили меня…, хоть речь идёт обо мне самой. Они действительно написаны прекрасным стилем, который превосходит стиль самого очерка" /2/. 2.3. Рождение первенца и критическое перенапряжение Августа Ада Лавлейс работает с большим напряжением. В письмах к Бэббиджу она неоднократно жалуется на утомление, болезни, плохое самочувствие. Наконец, 6 августа Бэббидж отсылает Аде свои последние замечания ...
... в Украине, бывшем Советском Союзе и за рубежом научная школа теоретического программирования. В 2001-м году ее не стало... Но не только в научном плане велика роль женщин в развитии вычислительной техники. Со временем образуется огромное количество различных фирм по разработке и продаже программного и аппаратного обеспечения. Следовательно, разыгрываются человеческие трагедии капиталистического ...
0 комментариев