ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Динамічне рівняння пов’язує вихідну величину  засобу вимірювання із вхідною  в динамічному режимі роботи. При його складанні в праву частину рівняння записують вхідний сигнал (причину, що привела засіб вимірювання в дію), а в ліву – вихідний сигнал (реакцію засобу вимірювання). В загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд:

(2.1)

В операторній формі

(2.2)

(2.3)

Диференціальне рівняння динамічної системи є вичерпною її характеристикою, але його коефіцієнти важко піддаються експериментальному визначенню. Тому як характеристики перетворення в часовій області використовуються імпульсна перехідна (вагова)  та перехідна  функції.

Імпульсна функція  є відгуком (реакцією) динамічної системи на вхідне збурення у вигляді -функції, яка за визначенням має властивості

(2.4)

(2.5)

Перехідна функція

. (2.6)

є відгуком динамічної системи на вхідну дію у вигляді одиничної функції , похідна якої

(2.7)

З характеристиками перетворення у часовій області однозначно пов’язані характеристики перетворення в частотній області, що є наслідком дуальності часу і частоти.

Усталена реакція на синусоїдний вхідний сигнал у загальному випадку є складною функцією параметрів засобу вимірювальної техніки і описується відповідними амплітудно-частотною та фазочастотною характеристиками, які можуть бути одержані з диференціального рівняння в результаті нижчеподаних математичних дій.

Застосувавши до диференціального рівняння при початкових нульових умовах перетворення Лапласа, одержимо передаточну функцію

(2.8)

де  - оператор Лапласа,  та  - зображення за Лапласом відповідно вихідної та вхідної величин.

Заміна оператора Лапласа в передаточній функції на  дає комплексну частотну характеристику

(2.9)

Комплексна частотна характеристика є вихідною для визначення амплітудно-частотної

(2.10)

(2.11)

Згідно індивідуального завдання необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку

, (2.12)

. (2.13)

Підставимо (2.13) в (2.12) і отримаємо:

. (2.14)

Розв’язком даного рівняння буде функція

, (2.15)

графічне зображення якої подано на рисунку 2.1.

Рисунок 2.1 – Графічне представлення розв’язку диференціального рівняння

Для знаходження перехідної характеристики підставимо в (2.12) як вхідний сигнал :

. (2.16)

Отримаємо розв’язок:

. (2.17)

Графічно перехідна характеристика зображена на рисунку 2.2.

Рисунок 2.2 – Перехідна характеристика

Для знаходження імпульсної характеристики підставимо в (2.12) як вхідний сигнал :

. (2.18)

Отримаємо розв’язок:

(2.19)

Графічно імпульсна характеристика зображена на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 – Імпульсна характеристика

Знайдемо передатну функцію заданого диференціального рівняння

. (2.20)

Замінимо оператор Лапласа в передатній функції на  та отримаємо комплексну частотну характеристику

. (2.21)

Виділимо дійсну та уявну частини в знаменнику:

. (2.22)

Помножимо чисельник та знаменник дробу на вираз, комплексно спряжений до знаменника, для того, щоб позбутись ірраціональності в знаменнику. В результаті отримаємо

. (2.23)

З даного виразу маємо дійсну

(2.24)

. (2.25)

частини комплексної частотної характеристики.

Знайдемо амплітудно-частотну характеристику як корінь із суми піднесених до квадрату дійсної та уявної частин комплексної частотної характеристики:

. (2.26)

Замінимо , тоді

 (2.27)

Графічно амплітудно-частотну характеристику наведено на рисунку 2.4.

Рисунок 2.4 – Амплітудно-частотна характеристика

Знайдемо фазочастотну характеристику як мінус арктангенс відношення уявної частини комплексної частотної характеристики до дійсної

. (2.28)

Після заміни  отримаємо

. (2.29)

Графік фазочастотної характеристики наведено на рисунку 2.5.

Рисунок 2.5 – Фазочастотна характеристика

Отже, в даному розділі було знайдено розв’язок диференціального рівняння другого порядку, отримано перехідну, імпульсну, амплітудно-частотну та фазочастотну характеристики. Всі розв’язки отримані за допомогою пакету прикладних програм Maple 7 і наведені в додатку А.

ВИСНОВКИ

В даній курсовій розглянуто питання визначення динамічних похибок вимірювання за допомогою динамічних характеристик засобу вимірювання.

В першому розділі розглянуто характеристики точності та правильності вимірювань, дано інтерпретацію понять роздільної здатності та класу точності засобу вимірювання, наведено методики визначення класу точності для різних типів засобів вимірювання.

В другому розділі було знайдено розв’язок диференціального рівняння другого порядку, що описує залежність вихідного сигналу засобу вимірювання від вхідного, отримано перехідну, імпульсну, амплітудно-частотну та фазочастотну характеристики, оскільки саме вони як повні динамічні характеристики дозволяють визначити динамічну похибку засобу вимірювання.

Всі розв’язки отримані за допомогою пакету прикладних програм Maple 7 і наведені в додатку А.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1.  Поліщук Є.С., Дорожовець М.М., Яцук В.О., та ін. Метрологія та вимірювальна техніка: Підручник / Є.С.Поліщук, М.М.Дорожовець, В.О.Яцук, В.М.Ванько, Т.Г.Бойко; За ред. проф. Є.С.Поліщука. – Львів: Видавництво “Бескид Біт”, 2003.

2.  ДСТУ 2681-94. Метрологія. Терміни та визначення. – К.: Держстандарт України, 1994.

3.  Володарський Є.Т., Кухарчук В.В, Поджаренко В.О., Сердюк Г.Б. Метрологічне забезпечення вимірювань і контролю. Навчальний посібник. – Вінниця ВДТУ, 2001.

4.  Кухарчук В.В., Кучерук В.Ю., Долгополов В.П., Грумінська Л.В. Метрологія та вимірювальна техніка. Навчальний посібник. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2004.

Додаток А

Розв’язок диференційного рівняння в пакеті Maple 7

x(t):=cos(t); ode1:=1.1*diff(diff(y(t),t),t)+2.5*diff(y(t),t)+3.1*sin(2.1*t)=

=0.5*x(t);

dsolve({ode1,y(0)=0,D(y)(0)=0});

y1(t) := 34100/115861*sin(21/10*t)+775000/2433081*cos(21/10*t)-

-55/746*sin(t)-125/746*cos(t)+103507151/432161530*exp(-25/11*t)-

-41/105;

with(plots):plot({cos(t),y1(t)},t=0..50);

dsolve({1.1*diff(diff(y(t),t),t)+2.5*diff(y(t),t)+

+3.1*sin(2.1*t)=0.5*Heaviside(t),y(0)=0, D(y)(0)=0});

y2(t) := 34100/115861*sin(21/10*t)+775000/2433081*cos(21/10*t)+

+1/5*Heaviside(t)*t+11/125*exp(-25/11*t)*Heaviside(t)-

-11/125*Heaviside(t)+157542/579305*exp(-25/11*t)-62/105;

plot({y2(t)},t=0..20);

dsolve({1.1*diff(diff(y(t),t),t)+2.5*diff(y(t),t)+

+3.1*sin(2.1*t)=0.5*Dirac(t),y(0)=0, D(y)(0)=0});

y3(t) := -1/5*exp(-25/11*t)*Heaviside(t)+1/5*Heaviside(t)+

+34100/115861*sin(21/10*t)+775000/2433081*cos(21/10*t)+

+273403/579305*exp(-25/11*t)-83/105;

plot({y3(t)},t=0..20);

S(f):=(4.41-(2*Pi*f)^2)/(2.2*(2*Pi*f)^4-9.3*(2*Pi*f)^2+6.51-

-5*sqrt(-1)*(2*Pi*f)^3+22.05*2*Pi*f*sqrt(-1));

S(f):=(4.41-(2*Pi*f)^2)*((2.2*(2*Pi*f)^4-9.3*(2*Pi*f)^2+6.51) +

sqrt(-1)*(5*(2*Pi*f)^3+22.05*2*Pi*f))/ ((2.2*(2*Pi*f)^4-

-9.3*(2*Pi*f)^2+6.51)^2 -( sqrt(-1)*(5*(2*Pi*f)^3+

+22.05*2*Pi*f))^2);

A(f):=(4.41-(2*Pi*f)^2)*(2.2*(2*Pi*f)^4-9.3*(2*Pi*f)^2+

+6.51) / ((2.2*(2*Pi*f)^4-9.3*(2*Pi*f)^2+6.51)^2 -( sqrt(-

-1)*(5*(2*Pi*f)^3+22.05*2*Pi*f))^2);

B(f):=(4.41-(2*Pi*f)^2)*(5*(2*Pi*f)^3+

+22.05*2*Pi*f) / ((2.2*(2*Pi*f)^4-9.3*(2*Pi*f)^2+6.51)^2 –

-( sqrt(-1)*(5*(2*Pi*f)^3+22.05*2*Pi*f))^2);

K(f):=sqrt( (A(f))^2+(B(f))^2 );

plot(K(f),f=0..1);

Q(f):=-arctan((B(f)/A(f)));

plot(Q(f),f=0..1);