Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль

7. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль

Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.

Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.

Рис. 2

Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука

 (8)

де Е ─ модуль Юнга;  ─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х.

В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так

 (9)

Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона

 (10)

Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так

 (11)

Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо

 (12)

де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.

Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так

 

m = ρSΔx. (13)

Рис.3

З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так

 (14)

Розглянувши граничний випадок при якому, з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням

 (15)

Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі

 (16)

Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)

 (17)

Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо

 (18)

Але оскільки , то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд

 (19)

Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини

 (20)

Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.

Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G

 (21)

Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто

 (22)

Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.

Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:

 (23)

Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.

8. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль

 

Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля

. (24)

Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки малий, щоб швидкість хвилі  і швидкість деформації  у всіх його точках були однакові.

Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою

де - кінетична енергія виділеного об’єму; - потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.

Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою

, (25)

де ρ - густина середовища виділеного об’єму.

Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо

 (26)

де ─ хвильове число.

У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:

Рис. 4

 (27)

де k – коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (8) дорівнює ; ─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.

З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд

. (28)

Помножимо й поділимо (28) на Δх², одержимо

 (29)

В граничному випадку при Δх=0 одержуємо

 (30)

Підставимо у формулу (30) значення модуля Юнга , і швидкість деформації , одержимо

 (31)

Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)

 (32)

Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює , то одержимо середнє значення повної енергії буде дорівнювати

 (33)

де ΔV=SΔx ─ елементарних об’єм пружного середовища.

Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища

. (34)

Нехай через площадку S (рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δt переноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати

, (35)

де  ─ вектор густини потоку енергії; ─ середня густина перенесеної хвилями енергії; ─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно переносу енергії.

Вектор потоку енергії  вперше одержав і розглянув видатний російський фізик Умов. На честь цього фізика він був названий вектором Умова.