Определить величину допускаемой нагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД

1.  Определить величину допускаемой нагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД.

Материал – Ст. 3, = 160МПа

Рис. 104

Площадь сечения А = 2А^L = 2*4,8 = 9,6 см² ;

Минимальный момент инерции сечения будет

I_x= 2I^L_x

Минимальный радиус инерции

По сортаменту определяем =1,53см

Приведенная длина верхнего пояса

см

Гибкость  по таблице

Допускаемое усилие из условия устойчивости для стержня AB:

Свяжем между собой силу, действующую на ферму F и усилие N_AB

 

Рис. 105

Допускаемая нагрузка на ферму

F_adm=48.5кн

Другим типом задачи является подбор размером сечения заданного типа. Можно записать

A=

Однако  зависит от размеров и формы сечения, таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методом попыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательности задач первого типа.

2.  Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3  =160МПа: =1м. Разберемся с геометрическими характеристиками

Рис. 106

A=a² ; I_x= ;

1)  см

a=см; см^2;

 

Нагрузка, которую может воспринять сечение при заданных размерах

 

Размеры сечения слишком велики

2) см

a=см; A=24см²;

Размеры сечения слишком малы

3)  Т. к. в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующего значения  среднее арифметическое из первых двух

 

см; a =см; A=36см²;

кн

Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.

0,95F

В нашем случае это условие выполнено.

Принимает размер сечения a = 6см

Лекция 15

Энергетический способ определения критических сил

В сколь-нибуть сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации проще получить приближённое решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях пока оставим открытым

Рис. 106

Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку F_п, то стержень изогнётся, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении ▲, которое можно найти следующим образом.

Укорочение малого элемента длиной dz будет равно

▲=

учтём, что = y^'

Тогда ▲=

Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня

U=

Здесь учтено, что M = EI_xy”

Изменение полной энергии при малом изгибе будет

 

Если , то стержень устойчив, если же  , т.е. F производит работу большую, чем может на копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то Fкрили

 откуда

Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z) надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.

Примеры

1)  Вначале попробуем решить рассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоим концам стержня. Точное решение известно.

F_kp =

Форма изогнутой оси в этом случае известна

y = CSin

но предположим, что это нам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени

Граничные условия следующие

А) при Z = 0: y=0 (1) ; y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,

Б) при Z = : y = 0 (3) ;y”=0 (4)

Возьмём производные

y’ = 4Az³+3Bz²+2Cz+D;

y” = 12 Az²+6Bz+2C

Из (1) E = 0 ; bp (2) C = 0 Используем (3) ; из (4) следует

12 A подставляя в (3): A

D=A y’=A(4z³-6; y”=12A(z²-

Подставим эти выражения в формулу (1)

Как видим, приближённое решение практически не отличается от точного.

2)Рассмотрим более сложную задачу.

Определить критическую силу для стержня , показанного на рисунке.

Аналогично предыдущему случаю, аппроксимируем изогнутую ось полиномом

y = Az⁴+Bz³ +Cz² +Dz+E

Запишем граничные условия

1) при z = 0 y = 0 (1)

y’ = 0 (2)

2) при z =3: y” = 0 (свободный конец и момент отсутствует) (4)

Найдем производные

y' = 4Az³+3Bz²+2Cz+D

y” = 12Az²+6Bz+2C;

Используем граничные условия

Из (1) E = 0 ; из (2) D = 0

Из (3) A16⁴+B8³+C4=0

 4²A+2B+C=0 (3а)

Из (4) 12A*9²+6B*3+2C=0

54²A+9B+C=0 (4а)

Решим совместно (3а) и (4а)

_9B+C=-54²A

 2B+C=-4²A

------------------------

7B=-50²A B=;

C=-4²-2( )= 

Подставим найденные значения коэффициентов полинома в выражения для

y’=2A(2z^3- z²+)

y” = 12A(z²-z+.

Подставим в (1)

Вычисляя интеграл, получаем

F_kp