Навигация
1.1.3 Уравнение Блоха
Число атомных ядер в макроскопическом образце весьма велико. В кубическом сантиметре воды содержится 1022 ядер атомов водорода, причем микроскопические магнитные диполи этих ядер полностью разупорядочены. Проведем мысленно следующий эксперимент: включим на короткое время статическое магнитное поле В0; в этом случае спины ядер Н с / = 1/2 статистически распределятся относительно направления поля В0, так что
одна половина их ориентируется вдоль поля, а вторая - против. Однако при этом спиновая система не находится в состоянии теплового равновесия с окружением. Обозначим через N + число спинов I, z-компонента которых Izориентирована вдоль поля В0, а через N — число спинов, ориентированных против поля, и учтем, что в состоянии теплового равновесия с окружающей средой отношение N~ к N+ подчиняется соотношению Больцмана
где к - постоянная Больцмана, Г - температура.
В этом случае уровень с меньшей энергией населен больше и, следовательно, большая часть спинов ориентирована так, что их магнитные моменты направлены вдоль магнитного поля В0. При комнатной температуре в полях порядка 1 Тл относительная разность населенностей всего лишь порядка 10~6. Однако эта небольшая величина, приводящая к Т0МУ> что спинов, ориентированных по полю, в 1 см вещества примерно на 10 больше, чем против, позволяет провести измерение макроскопической намагниченности.
В состоянии термодинамического равновесия результирующая макроскопическая намагниченность М направлена вдоль внешнего магнитного поля В0. Величина намагниченности М0 для комнатных температур может быть получена из следующего уравнения:
где N = N+ + N~ - полное число ядерных спинов, находящихся в единице объема. Из формулы видно, что макроскопическая намагниченность возрастает с увеличением напряженности магнитного поля В0 и гиромагнитного отношения у/ и убывает с ростом температуры Т. Такое поведение намагниченности М определяет большое число эффектов, наблюдаемых в ЯМР.
Время установления теплового равновесия между спиновой системой и окружающей средой, которую даже в жидкостях принято называть решеткой, определяется как время спин-решеточной релаксации. Эта величина описывает процесс установления равновесия, т.е. приближение z-компонен-ты намагниченности Mz к равновесному значению М0, которое устанавливается в спиновой системе спустя длительный период времени. Равновесная намагниченность устанавливается параллельно внешнему магнитному полю В0, поэтому спин-решеточную релаксацию называют также продольной релаксацией.
Непосредственно после открытия явления ЯМР Феликс Блох на основе классического подхода описал поведение намагниченности М, которая характеризуется компонентами Мх, Му и Mz, с помощью системы дифференциальных уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Блоха.
Уравнения Блоха позволяют достаточно просто описать основные экспериментальные данные: 1) Если направления намагниченности и магнитного поля в исходный момент не совпадают, то намагниченность совершает прецессию относительно направления магнитного поля. 2) Спустя достаточно длительный промежуток времени после воздействия возбуждения в системе устанавливается равновесная намагниченность, компонента Мг которой вдоль направления магнитного поля равна М0, а поперечная компонента намагниченности, перпендикулярная направлению внешнего магнитного поля, равна нулю. Экспоненциальное приближение Mz к равновесному значению М0 описывается уравнением
Постоянная Tj называется временем продольной релаксации. Соответственно процесс распада поперечной намагниченности описывается уравнениями для Мх и Му:
Классическое уравнение движения, описывающее прецессию намагниченности в магнитном поле без учета релаксации, имеет вид
Уравнения Блоха получаются путем феноменологического введения в уравнение релаксационных слагаемых в форме правых частей уравнений и:
В типичном ЯМР эксперименте наряду со статическим магнитным полем В0, направленным вдоль оси z, имеется еще и переменное РЧ поле с частотой О), магнитная составляющая которого направлена перпендикулярно полю В0, например, вдоль оси х, и осциллирует с частотой V = t, как правило, много меньше внешнего магнитного поля В0. Линейно поляризованное переменное магнитное поле можно представить в виде разложения по двум компонентам, которые вращаются в противоположных направлениях с круговыми частотами ±, частота вращения которой относительно оси z равна Шг Соответствующим преобразованием координат можно не только формально упростить уравнения, но и преобразовать их так, что они приобретут более наглядный вид. Сложное движение вектора намагниченности в пространстве можно разложить на два движения: движение во вращающейся системе координат и одновременное движение этой системы координат относительно лабораторной системы координат, фиксированной в пространстве. Обычно частоту вращения выбирают равной частоте РЧ поля, 0)г = О), так как в этом случае поле В; во вращающейся системе координат будет неподвижным. Обозначим когерентную компоненту намагниченности вдоль оси х через М х', а сдвинутую на 90° вдоль оси у' - через М ':
Уравнения Блоха во вращающейся системе координат принимают следующий вид:
где
определена формулой.
С помощью рис. 1.3 попытаемся построить простое представление о процессах, происходящих во вращающейся системе координат. Так как система координат вращается с круговой частотой
равной частоте поля Bi, то поле Bi будет неподвижным в этой системе координат. При этом удобно кроме суммарного поля Вг, складывающегося из полей В0 и Bi, определить еще и эффективное поле Beff, которое является векторной суммой полей к
. Можно показать, что уравнения, описывающие затухающее движение и прецессию спинов в этом эффективном магнитном поле, имеют вид -<1.16). Особенно простым будет вид этих уравнений, если
и эффективное поле Beff равно полю i ' В\. В этом случае частота прецессии со/ формально удовлетворяет условию резонанса, в котором вместо В0 используется Bi:
Если вначале вектор намагниченности направить вдоль оси z, и включить кратковременно РЧ поле, например, на время /, то вектор намагниченности отклонится на некоторый угол в направлении оси у ' в плоскости у ' z, а затем вновь возвратится к оси z. Если ВЧ поле отключается в момент времени, когда вектор намагниченности расположится строго вдоль оси у ', то говорят, что на систему воздействует 90°-ный или
-импульс. Если при той же напряженности магнитного поля выбрать длительность РЧ импульса такую, что вектор намагниченности отклонится от оси z в плоскости у ' z на 180°, то такой импульс называется 180°-ным или
-импульсом. В общем случае путем соответствующего выбора Beff и длительности импульса можно развернуть вектор намагниченности в плоскости у' z в произвольном направлении.
Если под действием РЧ импульса намагниченность отклонится от оси z, то после выключения РЧ импульса намагниченность, в результате появления у нее поперечных компонент, начнет прецессировать вокруг направления поля В0. Прецессия намагниченности создает модуляцию во времени связанного с этой намагниченностью магнитного поля. Если мы поместим образец в приемную катушку, то изменяющееся во времени магнитное поле создаст малое индукционное напряжение, которое может быть зарегистрировано с помощью соответствующих методов. Амплитуда этого сигнала пропорциональна резонансной частоте со/ и намагниченности м0; затухание сигнала во времени называют спадом свободной индукции.
Похожие работы
... вклад в значение момента (вклад тем существеннее, чем выше момент) дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте w =w0 исключить вклады от сопутствующих линий на частотах w = 0, 2w0, 3w0 о которых упоминалось ранее. Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность (благодаря удаленности ...
... маленькие протонные магниты тела разворачиваются в направлении внешнего поля. Помимо этого, магнитные оси каждого протона начинают вращаться вокруг направления внешнего магнитного поля. Это специфическое вращение называется прецессией, а его частоту - резонансной частотой или частотой Лармора. Частота Л. пропорциональна силе внешнего магнитного поля и составляет для ядер атома водорода 42,58 МГц ...
... и костей также прекрасно определяются при МРТ диагностике, но вот состояние полых органов (легких, кишечника, желудка и т.д.) лучше проверять при помощи компьютерной томографии. Принцип МРТ основан на резонировании атомов водорода, а полости, таким образом, аппарату практически неподвластны. Однако при использовании специальной рентгеновской пленки пространственное разрешение рентгеновских ...
... и, конечно же, за многими другими, которые будут получены, — будущее. В этом направлении и работают многие НИИ и исследователи. Аспекты поиска новых лекарств, изыскание новых лекарственных веществ состоит из трех основных этапов: химический синтез, установление фармакологической активности и безвредности (токсичности). Такая стратегия поиска с большой затратой времени, реактивов, животных, труда ...
0 комментариев