Модель відгуку плоскої ЦАР

2.2. Модель відгуку плоскої ЦАР

Відгук плоскої ЦАР для варіанта 2-координатної процедури оцінювання можна формалізувати за допомогою “натягнення” вектора А комплексних амплітуд М сигналів на діагональ одиничної матриці:  [29]. Згідно [29], аналітична модель відгуку плоскої решітки у матричній формі при одновідліковому вимірі напрямку на М сигналів має вигляд:

, (13)

де , , ,

, - матриці ПХ каналів ЦАР у напрямках М сигналів, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах,

,  - матриці КВВ, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах.

З урахуванням впливу шуму та (12), аналітичну модель відгуку плоскої ЦАР за умови взаємного впливу АЕ (13) можливо записати за виразом:

, (14)

де  - адитивний шум.

Однак, зі збільшенням розмірності прийнятої моделі сигналів формалізація істотно ускладнюється, що істотно впливає на можливість практичної реалізації вказаної моделі відгуку антенної решітки. Для вирішення цього питання в разі проведення багатокоординатних (наприклад: три, чотири координати) необхідно застосовувати більш розвинутий матричний апарат - сімейство торцевих добутків матриць, який був запропонований в [29].

Згідно [29], торцевим добутком hxg–матриці V () і  – матриці W, що представлена як блок–матриця строк [] (W=[], ), є hxgd–матриця V□W, що визначається рівністю:

V □ W = [] (15)

Приклад. 1

, ,

V□W = .

Відгук плоскої ЦАР у випадку незалежності КВВ від напрямку приходу сигналів і проведення 2-координатних (наприклад, за двома кутами) вимірів можна представити аналогічно лінійній ЦАР (12) [28]:

, (16)

де □,

A - вектор оцінок комплексних амплітуд М сигналів,

U - блок-вектор комплексних напруг приймальних каналів ЦАР,

, - матриці ПХ каналів ЦАР, відповідно в вертикальній та горизонтальній площинах, наприклад:

, ,

,  - матриці КВВ, що не залежать від кутової координати, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах,

,  - кількість просторових каналів плоскої ЦАР відповідно по вертикалі та горизонталі (див. рис.1.6),

,  - кутові координати напрямку приходу m-го сигналу,

М - кількість сигналів,

□ - торцевий добуток матриць.

Крім (15), слід розглянути його транспоновану модифікацію [29]. Транспонованим торцевим добутком (ТТД) –матриці V () і –матриці W, що представлена як блок–матриця стовпців [] (W=[], ), є –матриця V■W, що визначається рівністю:

V■W = [] (17)

Приклад. 2

, ,

V■W =

Згідно [29], для (15) та (17) дійсно: □=■. В частковому випадку, коли V та W - вектори, має місце властивість:

□=,  (18)

де  - кронекеровський добуток.

Вираз (17) також має назву операції Khatri-Rao [29].

Матриця Р у виразі (16) при використанні ТТД має вигляд:

, (19)

де ■.

Без втрати спільності, відгук антенної решітки можна розвинути на випадок трьох, чотирьох і більше координат (параметрів). При цьому буде змінюватися лише представлення матриці Р, що дуже спрощує застосування та узгодження відомих однокоординатних процедур у більш складних завданнях.