Кореляційно-регресійний аналіз зміни урожайності

5. Кореляційно-регресійний аналіз зміни урожайності

Порівняльну кількісну характеристику впливу різних факторів на зміну рівня врожайності можна встановити за допомогою кореляційного аналізу. Обов’язковою умовою застосування кореляційного методу э масовість показників, що дозволяє виявити тенденцію, закономірність розвитку. Форма взаємозв’язку між факторами і результативним показником виявляється тільки тоді, коли для дослідження використовується значна кількість спостережень. Тоді відповідно до закону великих чисел вплив інших факторів згладжується. Кореляція може бути парною і множинною.

Парна кореляція – це зв'язок між двома показниками, один із яких є факторним, інший результативним показником.

Статистична залежність виявляється в тому, що зі змінюванням однієї величини змінюється середнє значення іншої. Така залежність називається кореляційною. Наприклад, у землеробстві з однакових за площею ділянок землі при рівних кількостях внесених добрив збирають різний врожай. Звичайно, немає строгої функціональної залежності між урожайністю та кількістю внесених добрив. Це пояснюється впливом випадкових факторів (опади, температура повітря, розташування ділянки тощо). Водночас, як показує досвід, середній врожай залежить від кількості внесених добрив, тобто зазначені показники, напевне, пов’язані кореляційною залежністю.

Використання в аналізі рівня урожайності багатофакторних кореляційно-регресійних моделей дає можливість розв’язати такі два основні завдання:

ü    визначити і кількісно виміряти ступінь впливу як окремих факторів, так і їх сукупності на рівень врожайності і тим самим виділити важливіші фактори, що формують її рівень;

ü    на основі побудованих кореляційно-регресійних моделей, що характеризують залежність врожайності від різних факторів, можна робити розрахунки кількісних змін рівня врожайності при зміні на певну величину окремих факторів, що вивчаються, тобто робити розрахунки очікуваного рівня врожайності та здійснювати його прогнозування при заданих значеннях факторних ознак.

Побудові багатофакторних кореляційно-регресійних моделей залежності врожайності від різних факторів повинен передувати теоретичний якісний аналіз, на основі якого, виходячи з цілей і завдань дослідження, відбираються для вивчення фактори, що визначають рівень врожайності. При цьому потрібно мати на увазі, що змістовність результатів аналізу багато в чому визначається ступенем наукової обґрунтованості добору факторів. Одна з основних умов їх відбору - результативна ознака (врожайність) - повинна перебувати в причинному зв’язку з факторними ознаками.

По-перше, до багатофакторної кореляційно-регресійної моделі урожайності повинні включатись лише ті фактори, які з точки зору економічної теорії можуть здійснювати вплив на рівень врожайності.

По-друге, показники, що характеризують відібрані фактори, повинні мати кількісний вираз. Список цих факторів може бути або досить широким, або обмежуватися лише необхідною вихідною інформацією. Число включених до моделі факторів повинно бути практично доцільним. Ця вимога означає, що при моделюванні економічних показників необхідно прагнути використовувати мінімальну кількість факторів, в основному тих, що визначають коливання, варіацію досліджуваного показника. Включення до моделі великого числа факторів може призвести до того, що модель відобразить не тільки закономірності, притаманні даному явищу на тлі випадкових коливань, але й самі випадкові коливання. До того ж варто мати на увазі, що розроблені багатофакторні кореляційно-регресійні моделі повинні бути зручними для практичного використання і зрозумілі працівникам будь-якого рівня управління.

Щоб одержати надійніші і значиміші результати вивчення залежності врожайності від різних факторів, дослідження необхідно проводити не на підставі даних тільки одного якогось довільно взятого року, а за кілька років, щоб усунути вплив метеорологічних умов окремих років, що є однією з основних причин різких коливань як рівня врожайності.

Таблиця 10 - Розрахунок залежності урожайності зернових культур від внесення добрив в ДП «Украгросоюз»

Роки	Внесено добрив на 1 га ріллі, ц діючої речовини	Урожайність, ц/га	Квадрати		Розрахункові значення
Символи	х	у	у2	х2	ху
2000	0,7	32,3	1043,3	0,49	22,6
2001	0,9	31,7	1004,9	0,81	28,5
2002	1,5	26,0	676,0	2,25	39,0
2003	2,2	39,9	1592,0	4,84	87,8
2004	1,7	30,5	930,2	2,89	51,8
2005	2,2	34,7	1204,1	4,84	76,3
2006	1,1	29,9	894,0	1,21	32,9
2007	0,7	19,2	368,6	0,49	13,4
2008	1,2	42,3	1789,3	1,44	50,8
Разом:	12,2	286,5	9502,4	19,26	403,1

При застосуванні багатофакторних кореляційно-регресійних моделей в аналізі факторів урожайності, як і у всіх випадках їх побудови, важливе значення має правильний вибір типу рівняння регресії, здатного найточніше відобразити реально існуючі залежності між урожайністю і визначаючими її рівень факторами, а також достатній обсяг досліджуваної сукупності. Практика багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу свідчить про те, що лінійні рівняння найчастіше досить повно відображають закономірності формування рівнів досліджуваних суспільних явищ. Це можна пояснити тим, що у визначеному інтервалі самі складні залежності можуть бути приблизно добре відображені лінійним рівнянням:

 = а + bx

Щоб обчислити параметри прямої, необхідно розв’язати систему рівнянь:

 = na + b  

 = a + b²

Підставивши дані таблиці 9 у систему рівнянь, отримаємо:

286,5 = 9 a + 12,2 b : 9

403,1 = 12,2 a + 19,26 b : 12,2

31,83 = a + 1,36b

33,04 = a + 1,58b

a = 31,83 – 1,36b

33,04 = 31,83 – 1,36 b +1,58 b

a = 31,83 – 1,36 b

33,04 = 31,83 + 0,22 b

b = 1,21 : 0,22

b = 5,5

a = 31,83 – 1,36 х5,5

а = 24,35

Перевірка:

24,35 + 1,36 х 5,5 = 31,83

24,35 + 1,58 х 5,5 = 33,04

Отже, залежність між рівнем продуктивності праці і коефіцієнтом механізації можна виразити рівнянням прямої лінії регресії:

= 24,35 + 5,5x.

Параметр b називають коефіцієнтом пропорційності (регресії), він показує, на скільки одиниць змінюється результативний показник при зміні факторного показника на одиницю.

У нашому прикладі коефіцієнт пропорційності показує, що із збільшенням внесення мінеральних добрив на 1 ц. у розрахунку на 1 га площі урожайність у середньому зростає на 5,5 ц/га.

Коефіцієнт пропорційності може бути додатнім, що свідчить про прямий зв'язок, або від’ємний, що свідчить про зворотній зв'язок.

Коефіцієнт кореляції (r) одним числом дає уявлення про направлення (пряма +, зворотна -) та силу зв’язку (від 0 до 1);

0 - зв’язок відсутній;

0 - 0,3 - зв’язок слабкий;

0,3 - 0,7 - зв’язок середній;

0,7 - 1,0 - зв’язок сильний.

Для визначення і оцінки щільності зв’язку між двома лінійно залежними показниками застосовують парний (лінійний) коефіцієнт кореляції. Його обчислюють за формулою:

r_xy = ,

де

 - середнє значення добутку показників;

,  - середні значення показників;

,  - середні квадратичні відхилення показників.

За даними таблиці 9 обчислимо значення  за формулою:

 = : n = 403,1 : 9 = 44,8

- середнє значення результативної ознаки:

 = : n = 286,5 : 9 = 31,83

- середнє значення факторної ознаки:

 = : n = 12,2 : 9 = 1,36

- середнє квадратичне відхилення результативної ознаки (по ряду урожайності):

_у = ² = ² = = 6,53

- середнє квадратичне відхилення факторної ознаки (по ряду внесення мінеральних добрив)

_х = ² = ² =  = 0,54

- ступінь залежності урожайності від внесення мінеральних добрив:

 r_xy=  = 0,428 (1)

Отже, коефіцієнт лінійної кореляції (0,42) свідчить про те, що ступінь щільності залежності між ознаками середній, характеризується прямолінійним характером зростання урожайності і перебуває в прямій залежності від збільшення кількості внесення добрив.

Поряд з коефіцієнтом кореляції для характеристики зв’язку між двома ознаками використовують коефіцієнт детермінації, який чисельно рівний квадрату коефіцієнта кореляції. Коефіцієнт детермінації показує частину тих змін, які у залежності, яку вивчають обумовлені факторіальними ознаками і дають більш чітке уявлення про ступінь спряження ознак.

Коефіцієнт детермінації визначається за формулою: D = r² x 100% = 0,428² х 100 = 18,3%.

Отже, зростання урожайності тільки на 18,3% залежить від внесення добрив і на 81,7% - від інших факторів.

У рядах динаміки має місце, так звана, автокореляція, яка виникає внаслідок того, що фактором зміни рівнів ряду виступає поряд з іншими причинами і час. Якщо два показники змінюються в часі в одному чи в протилежних напрямках, то навіть коли ці показники причинне зовсім не зв'язані між собою, коефіцієнт кореляції між ними може виявитись досить високим. При визначенні показників тісноти зв'язку і рівнянь регресії в рядах динаміки автокореляцію доводиться усувати.

Автокореляція в рядах динаміки може призвести до похибки при оцінці взаємозв’язку шляхом кореляційно – регресійного аналізу, оскільки при цьому перекручується дійсна тіснота між рівнями ряду. велика міра тісноти між рівнями рядів в окремих випадках може мати місце навіть при відсутності зв’язку між відповідними явищами. Для цього достатньо стійкої системи в розвитку явищ, наявності лінійного співвідношення. наявність автокореляції утруднює здійснення аналізу досліджуваного економічного показника, оскільки:

ü    ускладнюється процес виділення суттєвих факторів;

ü    перекручується значення коефіцієнтів;

ü    ускладнюється визначення коефіцієнтів регресії методом найменших квадратів

Автокореляцію в рядах динаміки можливо усунути, якщо визначити кореляцію різниць між наступними і попередніми рівнями обох рядів х = х_і – х _і-1, у = у_і – у _і-1. при заміні рівнів динамічних рядів різницями між ними, усувається вплив автокореляції в кожному динамічному ряді.

Таблиця 11 - Дослідження автокореляції

Роки	Показники		Різниця між рівнями		Розрахункові величини
	х	у	х	у	х2	у2	ху
2000	0,7	32,3	-	-	-	-	-
2001	0,9	31,7	0,2	-0,6	0,04	0,36	-0,12
2002	1,5	26,0	0,6	-5,7	0,36	32,49	-3,42
2003	2,2	39,9	0,7	13,9	0,49	193,21	9,73
2004	1,7	30,5	-0,5	-9,4	0,25	88,36	4,70
2005	2,2	34,7	0,5	4,2	0,25	17,64	2,10
2006	1,1	29,9	-1,1	-4,8	1,21	23,04	5,28
2007	0,7	19,2	-0,4	-10,7	0,16	114,49	4,28
2008	1,2	42,3	0,5	23,1	0,25	533,61	11,55
Разом	12,2	286,5	0,5	10,0	3,01	1003,23	34,10

Коефіцієнт автокореляції визначають за формулою:

r_а = =  = 0,62

Для перевірки автокореляції в залишкових величинах можна використовувати критерій Дарбіна - Ватсона, який позначається символом d. Доведено, що значення d – статистики знаходиться у межах 0- 4 і розраховується за формулою:

d = (2 (1 –r_a)

d = 2 (1 - 0,62) = 0,76

За таблицею Дарбіна – Уотсона знаходимо верхнє і нижнє критичні значення при кількості спостережень n =9, і кількості факторів m =1:

d₁ = 0,82; d₂ = 1,32.

За порівняння розрахункового значення d з табличним може спостерігатися один з трьох варіантів:

1. 0 < d < d₁ – ряд має додатну автокореляцію;

2. d₁ < d < d₂ – автокореляція відсутня;

3. 4 - d₁ < d < 4 – ряд має від’ємну автокореляцію.

4. d₂ < d < 4 - d₂ - автокореляція відсутня.

Отже, згідно розрахунків, коефіцієнт автокореляції має позитивне значення (менше 2), ряд має автокореляцію (справедлива I нерівність).

Для нашого прикладу: d = 0,76 при п = 9 і 5 %-ному рівні ймовірності d₁= 0,82, тобто, d< d₁на 0,0 пункти, що і засвідчує про незначну автокореляцію.

Оскільки врожайність є синтетичним показником, рівень якого зумовлений дією багатьох факторів, в аналізі доцільніше використовувати не прості двофакторні, а багатофакторні кореляційно-регресійні моделі, які дають змогу вивчити відразу вплив кількох факторів. У більшості економічних досліджень необхідно вивчати динаміку кількох показників одночасно, тобто розглядати паралельно кілька динамічних рядів. Тому дослідимо зміну урожайності в залежності від внесення добрив і затрат праці в розрахунку на 1 га площі.

Таблиця 12 - Розрахунок двофакторної кореляційно – регресійної моделі

Роки	Внесено добрив на 1га, ц д.р.	Затрати праці на1 га, люд.год.	Урожайність, ц/га	Розрахункові величини
Символи	х	z	у	у2	ху	х2	z2	yz	xz
2000	0,7	45	32,3	1043,3	22,6	0,49	2025	1453,5	31,5
2001	0,9	44	31,7	1004,9	28,5	0,81	1936	1394,8	39,6
2002	1,5	26	26,0	676,0	39,0	2,25	676	676,0	39,0
2003	2,2	52	39,9	1592,0	87,8	4,84	2704	2074,8	114,4
2004	1,7	31	30,5	930,2	51,8	2,89	961	945,5	52,7
2005	2,2	33	34,7	1204,1	76,3	4,84	1089	1145,1	72,6
2006	1,1	27	29,9	894,0	32,9	1,21	729	807,3	29,7
2007	0,7	25	19,2	368,6	13,4	0,49	625	480,0	17,5
2008	1,2	45	42,3	1789,3	50,8	1,44	2025	1903,5	54,0
Разом:	12,2	328	286,5	9502,4	403,1	19,26	12770	10880,5	451,0

Здійснимо розрахунки параметрів множинної кореляції способом найменших квадратів:

= na + b + c

 = a + b² + c

 = a + b + c²

286,5 = 9 а + 12,2b + 328 с : 9

403,1 = 12,2 а + 19,26 b + 451 с : 12,2

10880,5 = 328 а + 451 b + 12770 с : 328

31,83 = а + 1,36 b + 36,44 с

33,03 = а + 1,58 b + 36,97 с (2 -1)

33,17 = а + 1,375 b + 38,93 с (3 -1)

1,21 = 0,22 b + 0,523 с : 0,22

0,13 = -0,205 b + 1,965 с : (-0,205)

5,5 = b + 2,377 с

-0,634 = b – 9,585 с (2 -1)

-6,134 = -11,962 с

с = 6,134 : 11,962

с = 0,51

1,21 = 0,22 b + 0,523 х 0,51

1,21 = 0,22 b + 0,268

0,22 b = 0,942

b = 0,942 : 0,22

b = 4,28

31,83 = а + 1,36 х 4,28 + 36,44 х 0,51

31,83 = а + 24,4

а = 31,84 – 24,4

а = 7,43

Перевірка:

286,5 = 9 х 7,43 + 12,2 х 4,28 + 328 х 0,51

403,1 = 12,2 х 7,43 + 19,26 х 4,28 + 451 х 0,51

10880,5 = 328 х 7,43 + 451 х 4.28 + 12770 х 0,51

Отже, лінійне рівняння множинної кореляції має вигляд:

_xz = 7,43 + 4,28х + 0,51z

З урахуванням впливу другого фактору визначимо середнє квадратичне відхилення по ряду затрат праці:

- середнє значення

 = : n = 10880,5 : 9 = 1208,94

-             середнє значення другої факторної ознаки:

 = : n = 328 : 9 = 36,44

- середнє квадратичне відхилення факторної ознаки (по ряду внесення мінеральних добрив)

_z= ² = ² = = 9,54

- ступінь залежності урожайності від затрат праці :

r_yz =  =  = 0,787 (2)

Отже, коефіцієнт лінійної кореляції (0,787) свідчить про те, що ступінь щільності залежності між ознаками високий, характеризується прямолінійним характером зростання урожайності і перебуває в прямій залежності від збільшення затрат праці на одиницю площі.

Зв'язок між факторними ознаками (внесенням мінеральних добрив і затратами праці) визначається за формулою:

r_хz =

 = : n = 451:9 = 50,11

- ступінь залежності кількості внесених добрив від затрат праці:

r_xz=  = 0,107 (3)

Обчислені парні коефіцієнти кореляції (1,2, 3) показують:

1. Урожайність зернових культур перебуває у тісному зв’язку з затратами праці на їх вирощування та збір (r_yz= 0,787);

2. Між урожайністю і внесенням мінеральних добрив виявлений середній зв'язок (r_xy= 0,428);

3. Існує слабка залежність між факторними знаками (внесенням мінеральних добрив і затратами праці (r_xz= 0,107).

Часткові коефіцієнти кореляції

 Між ознаками У (урожайність) та Х (внесення добрив) без урахування впливу ознаки Z (затрат праці):

r_yx(z) =  =  = 0,560

 Отже, як видно з розрахунку, якщо виключити вплив затрат праці, внесення мінеральних добрив в більшій мірі впливає на зміну урожайності.

Між ознаками У (урожайність) та Z (затрат праці) без урахування впливу ознаки Х (внесення добрив):

r_yz(x) =  =  = 0,824

При виключенні впливу кількості внесених мінеральних добрив вплив затрат праці на зміну урожайності зростає.

Між ознаками Х (внесення добрив) Z (затрат праці) без урахування впливу ознаки У (урожайності):

r_xz(y) =  =  = -0,740

Отже, від’ємний коефіцієнт свідчить про відсутність зв’язку між цими факторами.

Коефіцієнт множинної кореляції визначається за формулою:

R_yxz =  =  = 0,8596

Коефіцієнт детермінації:

D = r² x 100% = 0,8596² х 100 = 73,9%

Отже, урожайність зернових культур на 73,9% залежить від внесення добрив затрат праці і на 26,1% - від інших неврахованих факторів.