Определение опорных реакций и построение эпюр Qy и Mx

1. Определение опорных реакций и построение эпюр Qy и Mx.

ΣYi=0

RA - 2qa + q2a = 0

RA =4qa

ΣmA=0

MA - 4qa2 + 2qa3a-q2a2a = 0

MA = 4qa2 + 6qa2 + 4qa2 = 14qa2

Эпюра Qy. Строится по формуле

Q = Q0 ± qz

В данном случае следует взять знак «минус», так как погонная нагрузка направлена вниз. Поперечная сила постоянна на участке АВ (q=0) и изображается наклонной прямой на участке MF (q=const). Вычисляем значения Qy в характерных точках и строим ее эпюру (рис. 6,б)

QA=RA=4qa

QAB=QA=4qa

QBC=QAB – q2a=4qa – 2qa=2qa

QC=QBC – 2qa=2qa – 2qa=0

Эпюра Mx. Строится по формуле

Mx = M0 + Q0Z – 0,5qz2

Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке MF (q=const) и по линейному закону – на участке АВ (q=0). Вычисляем значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 6,в)

MA = – 14qa2

MAВ = MA + 4qa2 = – 14qa2+ 4qa2 = – 10qa2

MВ = MAВ + 4qa2 = – 10qa2+ 4qa2 = – 6qa2

MВС = MВ + 6qa2 = – 6qa2+ 6qa2 = 0

Расчетный изгибающий момент равен

Mрас = |MA| = 14qa2 = – 14·15·103·1,2 = 302,4 кН·м

Подбор сечений.

Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения по кторому подбираем конкретные сечения

 

 см3

Круг:

 см

Принимаем по ГОСТ 6636-86 нормализованное значение d0=270 мм, тогда

 см3

Прямоугольник (h/b=2):

 см

Ближайшее меньшее стандартное значение равно b0=140 мм. При этом балка будет работать с перенапряжением, равным

что удовлетворяет требованию, и для которого

 см2

Двутавр. По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 55 для которого =2035 см3, A3=118 см2.

Три швеллера. По ГОСТ 8240-89 выбираем три швеллера № 36, для которых =3·601=1803 см3, A4=3·53,4=160,2 см2.

Неравнобокие уголки. Они находятся подбором, так как в сортаменте не даны значения момента сопротивления. Использую формулу

Сделав несколько попыток, выбираем восемь уголков 250´160´16 для которых

 см3

A5=8·63б6=508,8 см2

Оценка экономичности подобранных сечений

Масса балки определяется как произведение плотности материала на ее объем m=rAl , т.е. расход материала при прочих равных условиях зависит только от площади поперечного сечения А. Сравнивая массы балок

m1 : m2 : m3 : m4 : m5 = A1 : A2 : A3 : A4 : A5 = 1 : 0,68 : 0,2 : 0,28 : 0,89 заключаем, что самым неэкономичным является круглое сечение. При замене круга другими формами (прямоугольник, двутавр, три швеллера, восемь уголков) достигается экономия, равная соответственно 32%, 80%, 72% и 11%.

Исследование напряжений в опорном сечении для балки двутаврового профиля № 55 (рис. 7,а), параметры которой по ГОСТ 8239-89 равны:

h=55 см, b=18 см, d=1,1 см, t=1,65 см, Ix=55962 см4, Sx=1181 см3

Внутренние силовые факторы в опорном сечении А:

QA = 4qa=4·15·1,2 = 72 кН

MA = – 14qa2 = – 14·15·103·1,22 = – 302,4 кН·м

Эпюра σ. Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону

Вычисляем напряжения в крайних точках и строим эпюру σ (рис. 7,б)

Эпюра τ. Она строится по формуле Журавского

Находим значения τ в 4 характерных точках по высоте сечения (необходимые вычисления представлены в табл. 3) и строим касательные напряжения (рис. 7,в)

Таблица 3 – Вычисления касательные напряжений в характерных точках

№ точек	bi, мм	, см3			, МПа
1,1΄	18	0	0	0	0	МПа
2,2΄	18	792	44	0,04	0,6
3,3΄	1,1	792	720	0,7	9,3
4	1,1	1181	1073,6	1	14

Определение главных напряжений в точке К (yк /h= – 0,1):

– напряжение в поперечном сечении

 МПа

 МПа

– величины главных напряжений

σ1 = 35,25 МПа

σ3 = – 5,25 МПа

– ориентация главных площадок

21º

Экстремальные касательные напряжения равны по величине

МПа

и действуют на площадках, равнонаклоненных к осям 1 и 3.