Опис мінімізації БФ заданими методами

1.3 Опис мінімізації БФ заданими методами

Для вибору мінімальної з МДНФ і МКНФ оцінимо складність схеми за допомогою ціни по Квайну. Ціна по Квайну визначається як сумарне число входів логічних елементів у складі схеми.

Такий підхід обумовлений тим, що

- складність схеми легко обчислюється по БФ, на основі яких будується схема: для ДНФ складність дорівнює сумі кількості літер, (літері зі знаком відповідає ціна 2), і кількість знаків диз’юнкції, збільшеного на 1 для кожного диз’юнктивного виразу.

- усі класичні методи мінімізації БФ забезпечують мінімальність схемі саме у змісті ціни по Квайну.

Схема с мінімальною ціною по Квайну часто реалізується з найменшим числом конструктивних елементів – корпусів інтегральних мікросхем.

Для даних функцій ми маємо:

C_кв (МДНФ)=19+6+5=30;

C_кв(МКНФ)=21+6+5=32.

Так як мінімальною ціною є C_кв(МКНФ), то для реалізації схеми будемо використовувати МДНФ.

1.4 Приведення БФ до заданого базису

Заданий базис: 3 І-НІ.

Приведемо вираз до заданого базису:

 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Y=X₁X₃X₄+X₂X₄X₅+X₃X₄X₅+X₁X₂X₃X₄+X₁X₄X₅+X₁X₃X₄ =

=X₃(X₁X_4*X₄X_5*X₁X₂X₄)_*X₅(X₂X_4*X₁X₄)_*X₁X₃X₄

Для реалізації функції по останьому виразу необхідно 16 елементів 3І-НІ (Рис.1). Ранг даної схеми дорівнює 4, що негативно відображається на швидкості. Використав факторний алгоритм можливо покращити схему, збільшити швидкість його роботи.

Рис. 1 Функціональна схема для заданого базису

2. Проектування автоматів

 

2.1 Вибір завдання

 

Граф-схеми алгоритмів обираються кожним студентом в індивідуальному порядку. Вона складається з чотирьох блоків: E, F, G, H. Студенти обирають граф-схему із п’яти блоків з номерами 0...4 на підставі чисел А, В, С та (А+В+С) за наступними правилами:

- блок "Е" – схема під номером (А) mod 5 = 13 mod 5 = 3;

- блок "F" – схема під номером (В) mod 5 = 7 mod 5 = 2;

- блок "G" – схема під номером (С) mod 5 = 21 mod 5 = 1;

- блок "H" – схема під номером (А+В+С) mod 5 = 41 mod 5 = 1.

Розташування обирається з використанням номера групи. Тип тригера знаходимо по таблиці на підставі числа (А) mod 3 = 13 mod 3 = 1.

(A) mod 3	ТИП ТРИГЕРА
0	Т	D
1	D	JK
2	JK	T
автомат	Мілі	Мура

Отримуємо D-тригер для автомата Мілі та JK-тригер для Мура. Для парних номерів за списком (21) - серія КР555.

Після відповідної розмітки будуємо таблиці переходів для обох автоматів.

2.2      Автомат Мура:

Будуємо таблицю переходів для автомата Мура.

Кодування станів виконуємо за еврістичним алгоритмом. Для цього будуємо матрицю Т.

║T║ =

 i │ j │ P(i,j)

 1 │ 2 │ 1

 1 │ 24│ 1

 1 │ 25│ 1

 2 │ 4 │ 1

 2 │ 6 │ 1

 2 │ 7 │ 1

 3 │ 5 │ 1

 3 │ 6 │ 1

 3 │ 7 │ 1

 3 │ 13 │ 1

 3 │ 14 │ 1

 4 │ 6 │ 1

 4 │ 7 │ 1

 5 │ 6 │ 1

 5 │ 7 │ 2

 6 │ 8 │ 1

 6 │ 9 │ 1

 7 │ 8 │ 1

 8 │ 10 │ 1

 9 │ 11 │ 1

 10│ 11 │ 1

 10│ 13 │ 1

 10│ 14 │ 1

 11│ 12 │ 1

 11│ 13 │ 1

 12│ 15 │ 1

 13│ 15 │ 1

 15│ 17 │ 1

 15│ 19 │ 1

 15│ 20 │ 1

 16│ 19 │ 1

 16│ 20 │ 2

 16│ 22 │ 2

 16│ 26 │ 1

 17│ 18 │ 1

 18│ 21 │ 1

 19│ 21 │ 1

 20│ 22 │ 1

 21│ 23 │ 1

 21│ 25 │ 1

 21│ 26 │ 1

 22│ 25 │ 1

 22│ 26 │ 2

 23│ 24 │ 1

Підкрашуємо вагу всіх компонентів всіх пар

P(1) = 3

P(2) = 4

P(3) = 5

P(4) = 3

P(5) = 3

P(6) = 6

P(7) = 5

P(8) = 3

P(9) = 2

P(10) = 4

P(11) = 4

P(12) = 2

P(13) = 4

P(14) = 2

P(15) = 5

P(16) = 4

P(17) = 2

P(18) = 2

P(19) = 3

P(20) = 3

P(21) = 5

P(22) = 4

P(23) = 2

P(24) = 2

P(25) = 3

P(26) = 3

Далі згідно правил алгоритму будуємо матрицю М

 ║M║ =

 i │ j │ P(i,j)

 5 │ 7 │ 2

 3 │ 7 │ 1

 3 │ 6 │ 1

 2 │ 6 │ 1

 2 │ 7 │ 1

 3 │ 13 │ 1

 4 │ 6 │ 1

 5 │ 6 │ 1

 6 │ 8 │ 1

 13 │ 15 │ 1

 3 │ 5 │ 1

 4 │ 7 │ 1

 6 │ 9 │ 1

 7 │ 8 │ 1

 10 │ 13 │ 1

 10 │ 11 │ 1

 11 │ 13 │ 1

 15 │ 19 │ 1

 15 │ 20 │ 1

 16 │ 20 │ 2

 16 │ 22 │ 2

 22 │ 26 │ 2

 19 │ 21 │ 1

 21 │ 25 │ 1

 21 │ 26 │ 1

 1 │ 2 │ 1

 2 │ 4 │ 1

 3 │ 14 │ 1

 8 │ 10 │ 1

 12 │ 15 │ 1

 15 │ 17 │ 1

 16 │ 19 │ 1

 16 │ 26 │ 1

 18 │ 21 │ 1

 20 │ 22 │ 1

 21 │ 23 │ 1

 22 │ 25 │ 1

 1 │ 25 │ 1

 9 │ 11 │ 1

 10 │ 14 │ 1

 11 │ 12 │ 1

 1 │ 24 │ 1

 17 │ 18 │ 1

 23 │ 24 │ 1

Визначемо розрядність кода для кодування станів автомата

R = ] log2 N [ = ] log2 26 [ = 5

Результати кодування:

 a1 10101

 a2 00101

 a3 00010

 a4 00111

 a5 00000

 a6 00011

 a7 00001

 a8 01011

 a9 10011

a10 01010

a11 11010

a12 11110

a13 10010

a14 01000

a15 10110

a16 00100

a17 10111

a18 11111

a19 10100

a20 00110

a21 11101

a22 01100

a23 11001

a24 10001

a25 11100

a26 01101

Підрахунок ефективності кодування:

Кількість перемикань тригерів:

W = E P(i,j)*d(i,j) = P(1,2)*d(1,2) + P(1,24)*d(1,24) + P(1,25)*d(1,25) + P(2,4)*d(2,4) + P(2,6)*d(2,6) + P(2,7)*d(2,7) + P(3,5)*d(3,5) + P(3,6)*d(3,6) + P(3,7)*d(3,7) + P(3,13)*d(3,13) + P(3,14)*d(3,14) + P(4,6)*d(4,6) + P(4,7)*d(4,7) + P(5,6)*d(5,6) + P(5,7)*d(5,7) + P(6,8)*d(6,8) + P(6,9)*d(6,9) + P(7,8)*d(7,8) + P(8,10)*d(8,10) + P(9,11)*d(9,11) + P(10,11)*d(10,11) + P(10,13)*d(10,13) + P(10,14)*d(10,14) + P(11,12)*d(11,12) + P(11,13)*d(11,13) + P(12,15)*d(12,15) + P(13,15)*d(13,15) + P(15,17)*d(15,17) + P(15,19)*d(15,19) + P(15,20)*d(15,20) + P(16,19)*d(16,19) + P(16,20)*d(16,20) + P(16,22)*d(16,22) + P(16,26)*d(16,26) + P(17,18)*d(17,18) + P(18,21)*d(18,21) + P(19,21)*d(19,21) + P(20,22)*d(20,22) + P(21,23)*d(21,23) + P(21,25)*d(21,25) + P(21,26)*d(21,26) + P(22,25)*d(22,25) + P(22,26)*d(22,26) + P(23,24)*d(23,24) = 1*1 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*2 + 1*2 + 2*1 + 1*1 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*2 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 2*1 + 2*1 + 1*2 + 1*1 + 1*1 + 1*2 + 1*2 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*1 + 2*1 + 1*1 = 60

Мінімально можлива кількість перемикань тригерів:

 Wmin = E P(i,j) = 48

Коефіціент ефективності кодування: 1.25

Виписуємо з таблиці вирази для тригерів (та виконуємо необхідні перетворення для представлення їх в рамках потрібної серії):

J1=a6*x4+a8+a11*x1+a11*nx1+a21*x4+a22*nx4*nx1=

a6*x4+a8+a11+a21*x4+a22*nx4*nx1

K1=a3*x5+a3*nx5*x2+a3*nx5*nx2+a9+a10*x5+a15*nx4*x3+a16*x4*x3+a16*nx4*x1+a16*nx4*nx1+a17+a19+a24+a26=

a3*x5+a3+a9+a10*x5+a15*nx4*x3+a16*x4*x3+a16+a17+a19+a24+a26

J2=a2*x5+a9+a10*x5+a10*nx5*x6+a15*nx4*nx3+a16*x4*nx3+a16*nx4*nx1+

a18+a20+a21*nx4*nx3+a24

K2=a1+a4*x2+a4*nx2+a11*x1+a12+a14+a19+a22*x4*x3+a22*nx4*x1+

a22*nx4*nx1=

a1+a4+a11*x1+a12+a14+a19+a22*x4*x3+a22

J3=a1+a6*nx4+a7*x6+a15*x4+a19+a22*x4*x3+a22*x4*nx3+a22*nx4*x1+

a22*nx4*nx1=

a1+a6*nx4+a7*x6+a15*x4+a19+a22

K3=a2*x5+a2*nx5*x2+a2*nx5*nx2+a10*x5+a10*nx5*nx6+a10*nx5*x6+

a16*x4*nx3+a16*x4*x3+a16*nx4*x1+a16*nx4*nx1+a24+a25=

a2+a10+a16+a24+a25

J4=a1+a3*x5+a6*x4+a7*nx6+a10*nx5*x6+a13*x2+a16*x4*x3+a16*nx4*x1+

a16*nx4*nx1+a17+a19=

a1+a3*x5+a6*x4+a7*nx6+a10*nx5*x6+a13*x2+a16*x4*x3+a16*nx4+a17+a19

K4=a2*nx5*x2+a2*nx5*nx2+a4*x2+a4*nx2+a5*x2+a5*nx2+a9+a14+a15*x4+

a15*nx4*nx3+a21*nx4*x3+a21*nx4*nx3+a22*x4*x3+a22*x4*nx3+a22*nx4*x1+a22*nx4*nx1+a24=

a2*nx5+a4+a5+a9+a14+a15*x4+a15*nx4*nx3+a21*nx4+a22+a24

J5=a1+a3*x5+a3*nx5*nx2+a6*nx4+a6*x4+a23=a1+a3*x5+a3*nx5*nx2+a6+a23

K5=a4*x2+a5*x2+a10*nx5*x6+a12+a13*x2+a13*nx2+a24=

a4*x2+a5*x2+a10*nx5*x6+a12+a13+a24

Для підвищення функціональності схеми можна виділити однакові елементи:

Z₁ = nx5+nx6 Z₅ = nx4+x1

Z₂ = x4+nx3 Z₆ = nx4+x3

Z₃ = nx4+nx1 Z₇ = nx4+nx3

Z₄ = x4+x3

Виконуємо необхідні перетворення для представлення ФЗ в рамках потрібної серії:

J1=a6*x4+a10*x5+a10*z1+a16*z2+a22*z2=n((na6+nx4)(na10+nx5)(na10+nz1)(na16+nz2)(na22+nz2))

J2=a6*nx4+a7*x6+a9+a16*z3+a17+a19+a20=n((na6+x4)(na7+nx6)(na16+nz3)*na9*na17*na19*na20)

J3=a3*nx1+a13*x2+a24=n((na3+x1)(na13+nx2)*na24)

J4=a2*x5+a2*nx5*x2+a5*x2+a7*x6+a14+a16*z4+a16*z5=n((na2+nx5)*

(na2+n(nx5*x2))(na5+nx2)(na7+nx6)(na16+nz4)(na16+nz5)*na14)

J5=a3*nx5+a5+a15*x4+a22*z4+a22*z5+a25=n((na3+x5)(na15+nx4)*

(na22+nz4)(na22+nz5)*na5*na25)

K1=a1+a13*nx2+a15*z6+a21*z6=n((na1*(na13+x2)(na15+nz6)(na21+nz6))

K2=a10*z1+a11*x1+a12+a14+a22*z3+a23+a25+a26=n((na10+nz1)(na11+nx1)(na22+nz3)*na12*na14*na23*na25*na26) K3=a2*nx5+a4+a21*x4=n((na2+x5)(na21+nx4)*na4)

K4=a3*x5+a3*nx5*nx2+a4*nx2+a10*nx5*x6+a15*z7+a18+a20=n((na3+ nx5)(na3+n(nx5*nx2))(na4+x2)((na10+n(nx5*x6))(na15+nz7)*na18*na20)

K5=a7*nx6+a8+a9+a21*z7+a26=n((na7+x6)(na21+nz7)*na8*na9*na26)

Формуємо функції виходів автомата:

Y1=a7+a12+a15+a21=n(na7*na12*na15*na21)

Y2=a2+a7+a8+a9=n(na2*na7*na8*na9)

Y3=a3+a6+a10+a14+a19+a25=n(na3*na6*na10*na14*na19*na25)

Y4=a6+a9+a17+a18+a23+a24=n(na6*na9*na17*na18*na23*na24)

Y5=a2+a5+a6+a16+a18+a22+a24=n(na2*na5*na6*na16*na18*na22*na24)

Y6=a10+a20+a26=n(na10*na20*na26)

Y7=a4+a11=n(na4*na11)

Y8=a13+a15+a21=n(na13*na15*na21)

Y9=a5+a12+a16+a22=n(na5*na12*na16*na22)

Y10=a19+a25=n(na19*na25)

Ми отримали усі необхідні вирази для принципової схеми. Будуємо її, користуючись формулами для тригерів та вихідними станами (Лист 1).