Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами

Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

3. Результати обчислень і оцінка похибки

Висновки

Література

Додаток

1. Короткі теоретичні відомості

Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) диференціального рівняння

, (1.1)

який задовольняє початкову умову

(1.2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x₀,y₀).

Задача Коші (1.1) – (1.2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні умови такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х_0,у₀) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що

(1.3)

для будь-яких точок (х₁,у₁) і (х₂,у₂) , то існує єдина диференційована функція , яка є розв’язком диференціального рівняння (1.1). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x₀-h; x₀+h], де

(1.4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розв’язок у точці х_k+1=x_k+h, досить знайти її розвязок в точці х_k.

І оскільки розв’язок задачі в точці х₀ відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розв’язку в наступних точках х₁=х₀+h, x₂=x₁+h,...

Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].

Метод Ейлера

Нехай на відрізку [x₀,x₀+l] треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x₀,x₀+l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками

х₀, х₁, х₂,..., х_n=x₀+l, де х_k=x₀+kh (k=0,1,2,...,n), .

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).

Розв’язати задачу (1.1)-(1.2) чисельно – це означає для заданої послідовності х₀, х₁,…, х_n=b=x₀+l незалежної змінної х та числа у₀ знайти числову послідовність у₁, у₂,…, у_n, тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної x_k=x₀+kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2) в точці х_k відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від х_k до х_k+1, знайдемо його розв’язок в точці х_k+1 за формулою:

(1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2). Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

(1.6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h²), дістанемо розрахункову формулу:

(1.7)

яку називають формулою Ейлера. у_k i y(x_k) – відповідно наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1.1) і (1.2) у точці х_k. Різницю у_k-y(x_k) називають похибкою наближеного значення у_k у точці x_k.

Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (x_k,y_k) матиме вигляд:

або

Звідси для ординати точки у_k+1 перетину цієї дотичної з прямою х=х_k+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [x_k,x_k+1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (x_k,y_k). Якщо в площині О_ху позначити точки М_k(x_k;y_k), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1.1) – (1.2). У цьому і полягає геометричний зміст методу Ейлера (див. рис. 1)

х4

х1

х

0

х0

Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку О(h²). Точність методу досить мала і переходом від точки x_k до точки x_k+1 її похибка систематично зростає.

Виправлений метод Ейлера.

Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою середніх прямокутників, тобто значення підінтегральної функції f(x,y(x)) обчислити в точці

, то знайдемо

(1.8)

Величину невідомого значення функції у() обчислимо за формулою (1.6) з кроком . Матимемо:

Підставивши це значення у() в (1.8), дістанемо

Відкинувши тут доданок пропорційний h³, матимемо

Розрахункові формули вдосконаленого методу Ейлера можна записати у вигляді

Отже, в удосконаленому методі Ейлера спочатку за метод Ейлера обчислюють наближений розв’язок у задачі (1.1)-(1.2) в точці  а потім наближений розв’язок у_k+1 у точці х_k+1; на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі (у точках (х_k,у_k) і ()).

Геометрично це означає, що на відрізку [x_k,x_k+1] графік інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) замінюється відрізком прямої, яка проходить через точку (x_k,y_k) і має кутовий коефіцієнт k=. Іншими словами, ця пряма утворює з додатним напрямом осі Ох кут .

0

		Рисунок 2.

xk

xk+

xk+1

x

Y

Yk+

Yk

y=f(x)

l2

l1

М

Yk+1

Що ж до точки (), то це точка перетину дотичної до інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (х_k,y_k) з прямою  Похибка на кожному кроці має порядок О(h³).

Модифікований метод Ейлера.

Якщо інтеграл в правій частині формули (1.5)обчислити за формулою трапеції, то матимемо

(1.11)

Невідоме значення у(х_k+1), що входить до правої частини цієї рівності, можна обчислити за формулою (1.7). Підставивши його в праву частину рівності (1.11), дістанемо рівність:

Звідси для удосконаленого методу Ейлера-Коші матимемо такі розрахункові формули:

(1.12)

(1.13)

Отже, і в цьому методі на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі: спочатку за методом Ейлера (формула (1.12)) обчислюють наближене значення шуканого розв’язку  у точці х_k+1, яке потім уточнюють за формулою (1.13). Похибка методу на кожному кроці має порядок О(h³).

Така побудова наближеного розв’язку задачі (1.1)1(1.2) з геометричної точки зору означає, що на відрізку [x_k,x_k+1] графік інтегральної кривої наближають відрізком прямої, яка проходить через точку (x_k,y_k) і має кутовий коефіцієнт  Тобто ця пряма утворює з додатним напрямком осі Ох кут

 

M

l1

l

l

l2

k+1

yk+1

yk

0

хk

хk+1

х

 

Координати точки (x_k+1,) визначають як точку перетину дотичної у=у_k+f(x_k,y_k)(x-x_k) до графіка інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (x_k,y_k) з прямою х=х_k [2].