Оценка параметров распределения случайных величин для четырех законов

1.3 Оценка параметров распределения случайных величин для четырех законов

В выражениях для плотности и функции нормального распределения (4 – 5) параметры m и s являются математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением. Поэтому, если мы остановились на нормальном распределении, то берем их равными, соответственно, выборочным математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению:

. (12)

Математическое ожидание показательного распределения есть величина, обратная его параметру a. Поэтому, если мы выбрали показательное распределение, параметр a находим:

 (13)

Из выражений для m_x и s_x равномерного закона распределения находим его параметры a и b:

; . (14)

Параметр s рэлеевского распределения также находится из выражения для m_x

 (15)

В системе MATLAB вычисление параметров теоретического распределения с помощью ПМП реализовано в функциях fit или mle. Подбор по методу моментов не реализован. Найдем параметры теоретического распределения по ПМП и методу моментов.

Практическая часть.

s={'нормальное распределение'; 'показательное распределение';…

'равномерное распределение'; 'Рэлеевское распределение'};

disp ('Параметры по ПМП:')

[mx, sx]=normfit(x);% параметры нормального распределения

lam=1/expfit(x);% параметр показательного распределения

[a, b]=unifit(x);% параметры равномерного распределения

sig=raylfit(x);% параметр Рэлеевского распределения

fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)

fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)

fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)

fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)

Для сигнала гусеничной техники:

Параметры по ПМП:

нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706

показательное распределение: alpha= 166.5608494

равномерное распределение: a= -0.0962308; b= 0.0942564

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150166

Для фонового сигнала:

Параметры по ПМП:

нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663

показательное распределение: alpha= 53.0224920

равномерное распределение: a= 0.0106122; b= 0.0210241

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0133420

disp ('Параметры по методу моментов:')

mx=Mx;

sx=Sx;% параметры нормального распределения

lam=abs (1/Mx);% параметр показательного распределения

a=Mx-Sx*3^0.5;

b=Mx+Sx*3^0.5;% параметры равномерного распределения

sig=abs(Mx)*(2/pi)^0.5;% параметр Рэлеевского распределения

fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)

fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)

fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)

fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)

Для сигнала гусеничной техники:

Параметры по методу моментов:

нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706

показательное распределение: alpha= 166.5608494

равномерное распределение: a= -0.0292791; b= 0.0412867

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0047903

Для фонового сигнала:

Параметры по методу моментов:

нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663

показательное распределение: alpha= 53.0224920

равномерное распределение: a= 0.0178790; b= 0.0198409

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150480

Вывод: из результатов, полученных двумя методами видно, что оценки плотностей распределения вероятностей для равномерного и рэлеевского законов по первому методу отличаются от плотностей распределения вероятностей по второму методу.

Оценки показательных и нормальных законов плотностей распределения вероятностей по обоим методам практически совпадают.

 

1.4 Построение на одном графике теоретического и практического распределения для формулировки гипотезы

Построим на одном графике теоретическую и эмпирическую плотности распределения вероятности. Эмпирическая плотность распределения – это гистограмма, у которой масштаб по оси ординат изменен таким образом, чтобы площадь под кривой стала равна единице. Для этого все значения в интервалах необходимо разделить на nh, где n – объем выборки, h – ширина интервала при построении гистограммы. Теоретическую плотность распределения вероятности строим по одному из выражений (4), (6), (8), (10), параметры для них уже вычислены. Эмпирическую плотность распределения нарисуем красной линией, а предполагаемую теоретическую – линией одного из цветов: синего, зеленого, сиреневого или черного.

Практическая часть.

[nj, xm]=hist (x, k);% число попаданий и середины интервалов

delta=xm(2) – xm(1);% ширина интервала

clear xfv fv xft ft% очистили массивы для f(x)

xfv=[xm-delta/2; xm+delta/2];% абсциссы для эмпирической f(x)

xfv=reshape (xfv, prod (size(xfv)), 1);% преобразовали в столбец

xfv=[xl; xfv(1); xfv; xfv(end); xr];% добавили крайние

fv=nj/(n*delta);% значения эмпирической f(x) в виде 1 строки

fv=[fv; fv];% 2 строки

fv=[0; 0; reshape (fv, prod (size(fv)), 1); 0; 0];% + крайние, 1 столбец

xft=linspace (xl, xr, 1000)';% абсциссы для теоретической f(x)

ft=[normpdf (xft, mx, sx), exppdf (xft, 1/lam),…

unifpdf (xft, a, b), raylpdf (xft, sig)];

col='bgmk';% цвета для построения графиков

figure

plot (xfv, fv, '-r', xft, ft(:, 1), col(1), xft, ft(:, 2), col(2),…

xft, ft(:, 3), col(3), xft, ft(:, 4), col(4)) % рисуем

set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…

'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)

title ('\bfПлотности распределения')

xlim([xl xr]), ylim([0 1.4*max(fv)])% границы рисунка по осям

xlabel ('\itx')% метка оси x

ylabel ('\itf\rm (\itx\rm)')% метка оси y

grid

Рис. 9 – График плотности распределения вероятности сигнала гусеничной техники и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности

Рис. 10 – График плотности распределения вероятности фонового сигнала и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности

 

Вывод: из рисунка 9 видно, что наиболее подходящим теоретическим распределением для первой эмпирической гистограммы является нормальное.

Реальный закон распределения амплитуд фонового сигнала также подчиняется нормальному закону.