Составление математической модели (формализация задачи);

1.         составление математической модели (формализация задачи);

Обозначим величину прибыли от овоща А как А, а величину прибыли от обоща В как В, тогда получим, что прибыль от продажи овоща А составляет (2,4–1,6) А, соответственно овоща В – (2,2–1,7) В. Суммарная прибыль магазина от продажи овощей составит (2,4–1,6) А+(2,2–1,7) В=0,8А+0,5В.

Тогда целевая функция имеет вид Z=0,8А – 0,5В

суммарная прибыль должна быть наибольшей (максимальной).

Данная задача содержит две неизвестных переменных, т.е. ее можно назвать плоской и она может быть решена графически.

Составим систему ограничений, исходя из условия задачи:

-            ограничение на покупку овощей по деньгам:

На покупку овоща А расходуется 1,6 д.е на 1 тонн. На все количество овоща А расходуется 1,6 А д.е. На овощ В расходуется 1,7 д.е. на 1 тонну на закупку овоща В тратят 1,7 В. Значит, исходя из условия задачи, суммарная сумма на которую закупаются овоща не должна превышать 180 д.е. Получим первое неравенство системы:

1,6 А + 1,7 В ≤ 180;

– дополнительные условия:

В условии задачи содержится дополнительное условие – закупка овоща А не менее 10 тонн и не более 60 тонн. т.е. имеем дополнительные неравенства для овоща А:

А ≥ 10;

А ≤ 60;

Для овоща В наложено верхнее ограничение не более 70 тонн, из условия задачи понятно что нижним ограничение является 0. Получаем дополнительные неравенства для овоща В:

В ≥ 0;

В ≤ 70;

Получили математическую модель задачи:

1,6А + 1,7В ≤ 180;

А ≥ 10; А ≤ 60;

В ≥ 0; В ≤ 70;

2.         решение формализованной задачи;

Решив задачу графически и с использованием пакета Excel, получим одинаковое решение:

А = 60 тонн.

В = 49,412 тонн.

Ход решения – см. таблица 9 и рисунок 3

Вывод: Для получения максимальной прибыли в размере 72,7 ден. ед. необходимо следующим образом потратить существующие деньги:

-           овощ А закупить в количестве 60 тонн.

-           овощ В закупить в количестве 49,412 м.

При этом необходимо потратит все деньги: 180 д.е.

Графическое решение задачи 4

Необходимо найти значения (А, В), при которых функция Z=0,8 А – 0,5 В достигает максимума. При этом А и В должны удовлетворять системе ограничений, приведенной ранее:

1,6А + 1,7В ≤ 180;

А ≥ 10; А ≤ 60;

В ≥ 0; В ≤ 70;

Решение

1.         Строим область, являющуюся пересечением всех полуплоскостей, уравнения которых приведены в системе ограничений. Например, полуплоскость 1,6А + 1,7В ≤ 180; представляет собой совокупность точек, лежащих ниже прямой, соединяющей точки с координатами (65; 44,705) и (32,813; 75). Аналогично – остальные. Построение – рисунок 3.

2.         Находим градиент функции Z.

grad z = {0,8; 0,5}

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (0,8; 0,5).

Построение – рисунок 3.

3.         Строим прямую, перпендикулярную вектору градиента. Так как по условию мы ищем максимум функции Z, то передвигаем прямую в направлении указанном вектором. Точка максимума – последняя точка области, которую пересечет эта прямая. В нашем случае, искомая точка лежит на пересечении прямых А=60 и 1,6 А + 1,7 В = 180;

Построение – рисунок 3

4.         Решаем систему уравнений

А=60;

1,6А + 1,7В = 180; В = 49,412;

Т.е графическое построение дало результат (60; 49,412).

Максимальное значение функции Z = 0,8*60+0,5*49,412=72,7. Рисунок 3 – Графическое решение задачи 4
Решение задачи 4 с использованием пакета Excel

В пакете Excel решение задачи линейного программирования осуществляется с помощью пункта меню Сервис – Поиск решения.

Распечатка решения задачи в Excel приведена в таблице 9.

Формулы, по которым был произведен расчет, приведены в таб. 10.

Таблица 9 – Решение задачи в Excel

	Переменные
	A	B
Значения	60	49.412
Нижняя граница	10	0
Верхняя граница	60	70
Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B	0.8	0.5	72.706	max
Коэффициенты целевой функции
	Коэффициенты		Значение		Фактические ресурсы	Неиспользованные ресурсы
Система ограничений	1.6	1.7	180	<=	180	0

 

Таблица 10 – Формулы для расчета в Excel

	Переменные
	A	B
Значения	60	49.412
Нижняя граница	10	0
Верхняя граница	60	70
Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B	0.8	0.5	=СУММПРОИЗВ (B3:C3; B6:C6)			max
Коэффициенты целевой функции
	Коэффициенты		Значение					Фактические ресурсы	Неиспользо- ванные ресурсы
Система ограничений	1.6	1.7	=СУММПРОИЗВ (B3:C3; B10:C10)				<=	180	=F10‑D10

Список используемой литературы

1. Финансово-экономические расчеты в Excel. – 2-е изд., доп. – М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2005. – 184 с.

2. Методический указания и контрольные задания по дисциплине «Информатика» для студентов заочного факультета экономического направления обучения. Ч. 3/ Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, О.А. Медведева. – ДГМА, 2006 – 40 стр.