Перший спосіб побудови інтегральних кривих

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння

значення . Маємо

Власний вектор (1; 1/2) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .

Далі, власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння

значення . Маємо

Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .

На площині  будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1; 1/2) і (1; - 1), а потім будуємо гіперболи.

2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.

Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол).

Прямі, що проходять через особливу точку (0,0), шукаємо у вигляді . Підставляючи  у вихідне рівняння

,

одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта

Таким чином, маємо дві шукані прямі

, .

3. Напрямок руху по траєкторіях. Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці  вектор швидкості . Наприклад, у точках  та вектор швидкості дорівнює

, ,

у точках  та вектор швидкості дорівнює

, ,

у точках  та  вектор швидкості дорівнює

, ,

у точках  та  вектор швидкості дорівнює

, .

Приблизний вид сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 2.

Рис.2. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]

 

3. Задача 2

 

Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:

 

 

Розв’язання. Для дослідження особливої точки рівняння

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння

і розв’язуємо його відносно

Розв’язки характеристичного рівняння дійсні, різні й одного знака.

Отже, особлива точка (0,0) - стійкий вузол ().