Навигация
ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
14444
знака
1
таблица
18
изображений
5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
Теорема 3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 
C=C1 и АС=kА1С1, ВС=kВ1С1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.
Подвергнем треугольник A1B1C1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).
При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то С2= =С1. А значит, у треугольников ABC и А2В2С2C=C2. Далее, A2C2 = kA1C1=AC, B2C2 = kB1C1=BC. Следовательно, треугольники ABC и А2В2С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники A1B1C1 и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1 и ABC подобны. Теорема доказана.
Рис. 9
Задача . В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ ΔEDC.
Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cos γ, DC = ВС соs γ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.
6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Теорема 4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А1В1С1 AB = kA1B1, AC = kA1C1, BC = kB1C1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.
Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:
A2В2 = kA1В1= АВ, A2C2 = kA1C1=AC, B2C2 = kB1C1=BC.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A2В2C2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1 и ABC подобны. Теорема доказана.
Рис. 10
Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Решение. Пусть ABC и А1В1С1 — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А1В1С1 пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А1В1 =kAB, B1C1 = kBC, A1C1=kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:
A1B1+ B1C1+A1C1=k(AB+BC+AC).
Отсюда
т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.
7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.
Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).
Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ΔABC~ΔCBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:
Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов I на гипотенузу.
Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рис. 12). Если треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.
Рассмотрим общий случай, когда АС≠ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.
Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:
т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.
Похожие работы
... - медианы треугольников; 4. , , где BH и B1H1 высоты треугольников. §5. Опытная работа Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе. Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о ...
... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...
... учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. 9. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991. 10. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ...
... развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии. При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач. При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей ...
0 комментариев