S = {0,1}

6.         S = {0,1}.

7.         È[1,+¥).

Доказательство. Пусть  связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R⁺.

Очевидно,  является полугруппой со свойством (**).

Пусть далее  несвязно и . Тогда  нульмерно по предложению 2.

Пусть  замкнуто и Æ. Если в  нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в  существует строго убывающая  последовательность, сходящаяся к 1. Так как  замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность  элементов из  сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда  и поскольку  замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент  из . Для него  при некотором N. По свойству (**) получаем  и . Поскольку , то . В этом случае N.

Пусть  замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим  и . Тогда , . Так как  замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства  по доказанному выше получаем:  для некоторого натурального N. Поскольку , то . В этом случае Z.

Пусть  не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов  убывает, и , если она возрастает. Тогда  для всех N и  при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N, что . Тогда имеем  и .

Следовательно, числа N из  образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).

Если  не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S – плотное подпространство в R⁺.

Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:

1.         S = R⁺.

2.         S – нульмерное плотное подпространство в R⁺.

3.         S = {0,1}.

1.         Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С  493-510.

2.         Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.