Модификация метода построения тестов для конечных автоматов относительно неразделимости

  Модификация метода построения тестов для конечных автоматов относительно неразделимости

2010

ВВЕДЕНИЕ

Поведение многих дискретных систем (таких как цифровые схемы с памятью или телекоммуникационные протоколы) можно описать моделью с конечным числом переходов, например, моделью конечного автомата. Конечный автомат сопоставляет последовательностям во входном алфавите последовательности в выходном алфавите. Для детерминированных автоматов методы построения проверяющих тестов достаточно хорошо развиты. Для недетерминированных автоматов, в которых одной входной последовательности может сопоставляться несколько выходных последовательностей, тесты активно развиваются, но в основном при тестировании используется предположение "о всех погодных условиях", т.е. предполагается, что есть возможность подавать входную последовательность, пока не пронаблюдаем все выходные реакции на нее. В данной работе изучается и улучшается метод построения тестов для недетерминированных автоматов относительно неразделимости для модели "черного ящика", предложенный в работе [1], в котором не используется ограничение "все погодные условия". Показывается, что избыточность тестов снижается, и при этом тест остается полным.

1. Основные определения и обозначения   1.1 Конечные автоматы и отношения между ними

Автоматом называется пятерка A = (S, I, O, h, s1), где S - множество состояний с выделенным начальным состоянием s1, I и O - соответственно входной и выходной алфавиты, h Í S ´ I ´ S ´ O - отношение переходов‑выходов. Элементами множества h являются четверки вида (s, i, s¢, o), называемые переходами; при этом говорят, что автомат может перейти из состояния s Î S под действием входного символа i Î I в состояние s¢Î S с выдачей выходного символа o Î O, если четверка (s, i, s¢, o) содержится в h.

В случае, когда каждой паре вход-состояние соответствует не более одного перехода, автомат называется детерминированным, а в противном случае – недетерминированным (нд-автомат).

Рисунок 1 – Недетерминированный автомат A (а) и детерминированный автомат B (b)

Обозначим out(s, a) = {b: $ s¢ÎS [(s, a, s¢, b) Î h]}, т. е. out(s, a) есть множество выходных реакций автомата в состоянии s на входную последовательность a.

Состояние s¢ называется i-преемником состояния s, если существует такой выходной символ o Î O, что четверка (s, i, s¢, o) содержится в h. Множество состояний M ¢ Í S называется i-преемником множества состояний M Í S, если M ¢ есть множество всех i-преемников всех состояний множества M.

Если для любых (s, i, o) Î S ´ I ´ O в нд-автомате A существует не более одного перехода из состояния s под действием входного символа i с выходным символом o, то говорят, что нд-автомат A является наблюдаемым. Если для каждой пары (s, i) Î S ´ I существует хотя бы одна пара (s¢, o) Î S ´ O, такая что (s, i, s¢, o) Î h, то нд-автомат A называется полностью определенным. В противном случае автомат называется частично определенным или частичным.

Автомат A = (S, I, O, h, s₁) называется инициальным, если в множестве состояний S выделено начальное состояние s₁.

Говорят, что состояние s' достижимо из состояния s в автомате A, если существует входная последовательность, которая переводит автомат A из состояния s в состояние s'. Автомат называется связным, если любое его состояние достижимо из начального состояния[3].

Пусть A = (S, I, O, h, s1), B = (T, I, O, g, t1) – полностью определенные автоматы. Автомат B называется подавтоматом автомата A, если T Í S, t1 = s1 и g Í h. Пересечением автоматов A = (S, I, O, h, s₁) и B = (T, I, O, g, t₁) (обозначение A Ç B), назовем максимальный связный подавтомат инициального автомата (S´T, I, O, H, s1t1), в котором отношение переходов H определено следующим образом: (st, i, s¢t¢, o) Î H Û [(s, i, s¢, o) Î h Ù (t, i, t¢, o) Î g]. Пересечение автоматов описывает общую часть поведения автоматов A и B и используется для построения входных последовательностей, различающих эти автоматы.

На рисунке 2 представлены автоматы A, B.

A	1	2	3	4
a	2/1 3/0	2/0	2/0 4/1	3/1
b	1/0	2/1	3/0	2/1

B	1	2	3	4
a	2/0 4/1	2/0	2/1 1/0	1/1
b	1/0	2/1	3/0	2/1

Рисунок 2 – Автоматы A, B

На рисунке 3 представлен автомат A∩B.

AÇB	1,1	3,2	2,2	2,4
a	3,2/0 2,4/1	2,2/0	2,2/0	—
b	1,1/0	—	2,2/1	2,2/1

Рисунок 3 – Автомат AÇB

При тестировании проверяются различные отношения соответствия между эталонным и проверяемым автоматами.

Пусть A и B – полностью определенные автоматы. Говорят, что состояние s автомата A и состояние t автомата B эквивалентны (обозначение: s @ t), если " a Î I* [ out(s, a) = out(t, a) ]. Иными словами, множество реакций автомата A в состоянии s на любую входную последовательность α совпадает с множеством реакций автомата B в состоянии t на данную входную последовательность α. В противном случае, состояния s и t не эквивалентны [2].

Автоматы A и B называются эквивалентными (обозначение: A @ B), если эквивалентны их начальные состояния, т.е. s₁ @ t₁. В противном случае, автоматы A и B не эквивалентны. Таким образом, по определению, два автомата эквивалентны, если и только если множества их выходных реакций на каждую входную последовательность совпадают.

Состояние t автомата B называется редукцией состояния s автомата A (обозначение: t £ s), если " a Î I* [ out(t, a) Í out(s, a) ], т.е. если для любой входной последовательности множество выходных последовательностей автомата B содержится во множестве выходных последовательностей автомата A. Если t₁ £ s₁, то автомат B называется редукцией автомата A.

Состояние s автомата A и состояние t автомата B неразделимы (обозначение: s ~ t), если " a Î I* [ out(s, a) Ç out(t, a) ¹ Æ]. Если $ a Î I* [ out(s, a) Ç out(t, a) = Æ], то состояния s и t разделимы по a (обозначение: s ≁_ t), или просто разделимы (обозначение: s ≁ t). Автоматы A и B неразделимы, если s₁ ~ t₁. Если s₁ ≁_ t₁, то автоматы A и B разделимы по a (обозначение: A ≁_ B), или просто разделимы (обозначение: A ≁ B); последовательность a называется разделяющей последовательностью автоматов A и B. Таким образом, автоматы разделимы, если существует входная последовательность, для которой множества выходных последовательностей автоматов не пересекаются. Разделяющая последовательность a Î I* называется кратчайшей, если любая другая входная последовательность, разделяющая автоматы A и B, не короче a. Если автоматы неразделимы, то для любой входной последовательности множества выходных последовательностей автоматов пересекаются.