Расчет дисперсии воспроизводимости

1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости

Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле:

S^2 , (1.12)

где N- число опытов.

S²{y}=112,22/14= 8,02

Число степеней свободы для данной процедуры:

f_y=N(n-1) (1.13)

f_y=3*14=42.

2 Построение математической модели   2.1 Расчет коэффициентов регрессии

По результатам В₃-план построим математическую модель:

Y=b₀+b₁*x₁+b₂*x₂+b₃*x₃+b₁₁*x₁²+b₂₂*x₂²+b₃₃*x₃²+b₁₂*x₁*x₂+b₁₃*x₁*x₃+b₂₃*x₂*x₃

Таблица 2.1 – Матрица для расчета коэффициентов регрессии

№ опыта	X0	X1	X2	X3	X11	X22	X33	X12	X13	X23	Yij	Ŷij
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	16.02	15.92
2	1	-1	1	1	1	1	1	-1	-1	1	33.66	33.60
3	1	1	-1	1	1	1	1	-1	1	-1	13.1	12.95
4	1	-1	-1	1	1	1	1	1	-1	-1	27.36	27.00
5	1	1	1	-1	1	1	1	1	-1	-1	33.38	33.74
6	1	-1	1	-1	1	1	1	-1	1	-1	59.32	59.47
7	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	1	34.76	34.82
8	1	-1	-1	-1	1	1	1	1	1	1	56.82	56.92
9	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	19.42	19.25
10	1	-1	0	0	1	0	0	0	0	0	38.96	39.13
11	1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	30.58	30.22
12	1	0	-1	0	0	1	0	0	0	0	27.1	27.46
13	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	23.62	24.29
14	1	0	0	-1	0	0	1	0	0	0	48.84	48.17

Используя матрицу базисных функций, табл. 2.1, коэффициенты регрессии определяем по следующим формулам:

- свободного члена:

b₀=-; (2.1)

- линейных коэффициентов регрессии:

b_i= ; (2.2)

- квадратичных коэффициентов:

b_ii = ; (2.3)

- коэффициентов при парных взаимодействиях:

b_iu= . (2.4)

  2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии

Формулы для определения дисперсий: - дисперсия оценки свободного члена:

S²{b₀}= ; (2.5)

S²{b₀}=3,26

- дисперсия оценки линейных коэффициентов регрессии:

S²{b_i}= ;  (2.6)

S²{b_i}=0,80

- дисперсия оценки квадратичных коэффициентов регрессии:

S²{b_ij}=;  (2.7)

S²{b_ii}=3,26

- дисперсия оценки коэффициентов при парных взаимодействиях:

S²{b_iu}= . (2.8)

S²{b_iu}=1,00

2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии

Для оценки значимости регрессии используем t – критерий Стьюдента. По следующим формулам определяются расчетные значения t – критерия Стьюдента:

t_расчi=, (2.9)

где S{b_i}= - среднеквадратическое отклонение соответствующих дисперсий коэффициентов регрессии;

t_расчii=, (2.10)

t_расчiu=. (2.11)

Таблица 2.2 - Проверка значимости коэффициентов регрессии

обозначение коэффициентов регрессии	значение коэффициентов регрессии	Расчетные значения t-критерия Стьюдента
b0	29.98	9
b1	-9.94	-12
b2	1.38	2
b3	-11.94	-15
b11	-0.79	0
b22	-1.14	0
b33	6.25	2
b12	-0.91	-1
b13	2.01	2
b23	1.01	1

По t – критерию Стьюдента, по заданному уровню значимости (q=0,05) ичислу степеней свободы (f_y=42), связанному с дисперсией воспроизводимости, находим табличное значение t – критерия Стьюдента [1. табл. Д1]:

t_табл =2,02

Если t_расч, > t_табл, то соответствующий коэффициент регрессии значим. Незначимые коэффициенты регрессии должны быть исключены из математической модели. Однако, в данной расчетной части с целью сохранения единообразия расчетов процедура исключения не проводится.

Получена следующая математическая модель в нормализованных обозначениях факторов:

Y=101,65+42,425х₁+2,9х₂+15,5х₃+8,4х₁₁-2,98х₂₂-2,46х₃₃₊2,22х1х2+6,28х1х3+1,11х₂х₃

2.4 Проверка модели на адекватность

Для проверки адекватности модели используют дисперсию адекватности S²_aq, процедура расчета которой зависит от вида дублирования опытов. Так как в нашем случае дублирование равномерное, то дисперсия адекватности рассчитывается по формуле:

 

(2.12)

где f_aq=N-p=14-10=4,

где p – число оцениваемых коэффициентов;

S²_aq= 0,39

Затем, по F – критерию Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность S²_aqдисперсии адекватности (с числом степеней свободы f_aq):

F_расч= (2.13)

F_расч= 0,39/8,02=0,049

По таблице значения F - критерия Фишера [1. табл. Е1]:

F_табл=2,84. Так как F_табл.>F_расч, следовательно, найденную модель можно считать адекватной.

Таблица 2.3 – Математическая модель

Номер опыта	Факторы в натуральных обозначениях			Значение выходной величины
	X1, d, см	X2, Н, мм	X3 , m, шт	опытное	модельное
1	56	225	9	15.9055	15.9220
2	40	225	9	32.0175	33.6000
3	56	125	9	13.7255	12.9480
4	40	125	9	26.3175	26.9960
5	56	225	5	33.0255	33.7440
6	40	225	5	57.4575	59.4720
7	56	125	5	34.8455	34.8200
8	40	125	5	55.7575	56.9180
9	56	175	7	19.3855	19.2460
10	40	175	7	37.8975	39.1340
11	48	225	7	29.1295	30.2220
12	48	125	7	27.1895	27.4580
13	48	175	9	24.0095	24.2940
14	48	175	5	47.2895	48.1660

Уравнение регрессии в натуральных обозначениях факторов следующее:

Y=193,2-0,53d+0,23H-35,65m-0,012d²-0,0005H²+1,56m²-0,0022dH+0,13dm+0,01Hm

Таблица 2.4 – Значения выходной величины.

X1X2	40	44	48	52	56
125	162.738	155.4855	147.85	139.83	131.426
150	162.85	155.378	147.522	139.282	130.658
175	162.338	154.6455	146.57	138.11	129.266
200	161.2	153.288	144.992	136.312	127.248
225	159.438	151.3055	142.79	133.89	124.606

Таблица 2.5 – Значения выходной величины.

X1X3	40	44	48	52	56
5	-90.45	-99.202	-108.34	-117.86	-127.76
6	-148.46	-157.732	-158.03	-177.43	-187.85
7	-209.59	-219.382	-207.72	-240.12	-251.06
8	-273.84	-284.152	-257.41	-305.93	-317.39
9	-341.21	-352.042	-307.1	-374.86	-386.84

Таблица 2.6 – Значения выходной величины.

X2X3	125	150	175	200	225
5	81.1375	84.7	87.6375	89.95	91.6375
6	63.8975	67.71	70.8975	73.46	75.3975
7	49.7775	53.84	57.2775	60.09	62.2775
8	38.7775	43.09	46.7775	49.84	52.2775
9	30.8975	35.46	39.3975	42.71	45.3975

          2.5 Построение графической зависимости

Рисунок 2.1 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и толщины бруса.

Рисунок 2.2 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и количества сечений.

Рисунок 2.3 – Зависимость посылки по мощности привода от толщины бруса и количества сечений.

Рисунок 2.4 – График зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы мы изучили методы планирования второго порядка на примере В₃ плана, получили и исследовали математическую модель объекта в виде полинома второго порядка, провели статистический анализ полученного уравнения.

Анализируя полученную модель, получаем, что значимыми являются все три фактора.

Полученная модель позволяет предсказать значения выходной величины для любой точки внутри области варьирования факторов.

В результате расчета было получено, что различие между дисперсиями незначимо, следовательно, можно считать найденную модель объекта адекватной.

Список использованных источников

1.      Л.Л. Кротова и др. Научные исследования в деревообработке. Планы второго порядка. Реализация В₃ плана. Учебное пособие по выполнению курсовой работы студентов специальности 250200 всех форм обучения/Л. Л. Кротова, А. А. Филлиповч, В. Ю. Буданов. - Красноярск: СибГТУ, 2003.-36с.