Множество элементов E = {eÎR,1+e=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой

2. Множество элементов E = {eÎR,1+e=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3. Множество Q⁺×(R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть áR, U, Dñ - допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q⁺+R есть подполутело U, изоморфное ((R/I)´Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End _RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qÎQ⁺,rÎR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+e, 1+e=1"e сливаются в классы q×(R/I), где I - множество всех e.

Отображение j_u: R®uR, uÎU ввиду дистрибутивности и ассоциативности в UR является R – модульным эндоморфизмом. Пусть j_u+j_v:R®(u+v)R и j_u×j_v:R®uvR, тогда отображение a: U ®End _RR, сопоставляющее каждому элементу uÎU эндоморфизм j_u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q₁+r₁, q₂+r₂, считая без ограничения общности, q₁=q₂+q₃ (q₃ может равняться нулю), "r, (q₁+r₁)r=(q₂+r₂)rÛ(q₃+r₁-r₂)r=0Þq₃=0,r₁=r₂. Элементы q₁+r₁ и q₂+r₂ одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a - мономорфизм и Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q⁺).

Замечание. Система (Q⁺×(R/I))È({0}×R) с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности UR для данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное UR и пусть tÎR не лежит в AnnR, но t×rÎAnnR"rÎR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-1,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ из примера 1).

Определим новые операции на UÈR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rÎR и uÎU сложение зададим законом uÅr=u+r+r×t. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁Åu₂)År=u₁Å(u₂År)Ûu₁+u₂+r+rt= u₁+u₂+r+rt

(uÅr₁)År₂=uÅ(r₁År₂)Ûu+r₁+r₁t+r₂+r₂t=u+r₁+r₂+(r₁+r₂)t.

2. Дистрибутивность:

u₁(rÅu₂)=u₁rÅu₁u₂Ûu₁(r+u₂+rt)=u₁u₂+u₁r+u₁rt

r₁(uÅr₂)=r₁uÅr₁r₂Ûr₁u+r₁r₂+r₁r₂t=r₁u+r₁r₂.

Таким образом, UÈR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:u®u"uÎU:

r®(1+t)^-1r"rÎR. Причём f_t :r®(1+t)^-1r"rÎR – автоморфизм R.

Доказательство. Имеем f_t – автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

"r₁,r₂, f_t(r₁+r₂)=(1+t)^-1(r₁+r₂)= (1+t)^-1r₁+(1+t)^-1r₂=f_t(r₁)+ f_t(r₂)

"r₁,r₂,(1+t)^-1(r₁∙r₂)=(1+t)^-1(1+t)^-1(r₁∙r₂),

поскольку (1+t)r₁r₂=r₁r₂. Поэтому в виду коммутативности полукольца f_t(r₁∙r₂)= f_t(r₁)f_t (r₂).

Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

"uÎU, rÎR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)^-1r f(u)Åf(r)

"uÎU, rÎR f(ur)=(1+t)^-1ur=u(1+t)^-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0-1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

1.   Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.

2.   Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.

3.   Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S. 93-98.

4.   Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.

5.   Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972. – 200 с.