Навигация
2. Число дійсних коренів
Знання числа і розміщення дійсних коренів многочленів є важливою передумовою застосування багатьох методів чисельного розв’язування рівнянь. В окремих випадках деякі відомості про число дійсних коренів можна дістати за допомогою досить поверхневого аналізу. Іноді при знаходженні меж коренів виявляється, що многочлена не має додатних або від’ємних коренів. Однак для повної відповіді на питання про число дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами (або навіть про число таких коренів на довільному, наперед заданому інтервалі дійсної осі) потрібні більш глибокі дослідження.
У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за простим правилом, яке дав Декарт. Перш ніж формулювати це правило, зробимо деякі зауваження.
Зауваження 1. Розглядатимемо кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченій послідовності дійсних чисел 
розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки. Наприклад, у послідовності –1,-2,6,3,-1,4 є 3 зміни знаків, а в послідовності –1,-2,-6,-3,-1,-4 є 0 змін знаків. Якщо які-небудь з чисел дорівнюють нулю, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть. Зауважимо, що коли перше й останнє числа 
і 
даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності парна; якщо ж і мають протилежні знаки, то кількість змін знаків – непарна. Справді, члени послідовності, які безпосередньо йдуть за кожною зміною знаків, мають знак, протилежний знаку тих членів, які передували зміні знаків. Отже, якщо остання зміна знаків має непарний номер, то числа послідовності, що йдуть за нею (і зокрема, ) матимуть знак, протилежний до .
Зауваження 2. Припускатимемо, що розглядуваний многочлена не має кратних коренів, оскільки завжди можна відокремити кратні множники.
Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами
дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.
Зауваження 1. Правило Декарта можна застосувати і для оцінки числа від’ємних коренів з дійсними коефіцієнтами. Для цього в рівнянні
треба зробити заміну змінного 
. Зрозуміло, що число від’ємних коренів даного рівняння дорівнює числу додатних коренів рівняння 
, яке можна оцінити за правилом Декарта.
Якщо дане рівняння повне, тобто жодний коефіцієнт не дорівнює нулю, то число від’ємних коренів можна визначити і не виконуючи заміни . Справді, в цьому випадку число 
змін збережень знаків у ряді коефіцієнтів многочлена 
дорівнює числу 
збережень знаків у ряді коефіцієнтів многочлена 
. Отже, число від’ємних коренів повного рівняння дорівнює числу збережень знаків у ряді його коефіцієнтів або на парне число менше.
Зауваження 2. Коли наперед відомо, що всі корені даного рівняння 
дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь на питання про число дійсних коренів, а саме: число додатних коренів дорівнює числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена , а число від’ємних коренів – числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена .
Справді, нехай, як і вище, 
і – число додатних і від’ємних коренів даного многочлена , 
-го степеня; 
і 
– число змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена і многочлена відповідно. З умови, що всі корені дійсні, випливає: 
. Якби рівняння були повними, то мали б також 
. Якщо ж деякі з коефіцієнтів многочлена (а тому й многочлена ) перетворюється в нуль, то числа і можуть тільки зменшитися. Тому в загальному випадку 
, звідки 
, або 
. Але з правила Декарта знаємо, що 
. Тому насправді 
.
На жаль, у більшості випадків наперед невідомо, чи всі корені рівняння дійсні. У зв’язку з цим правило Декарта, хоч і зручне з точки зору простоти застосування, не дає повної відповіді на питання про число дійсних коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами та їх розподіл між додатною і від’ємною півосями.
Практична частина
Похожие работы
... і слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень. 1.5.2 Алгоритм методу Алгоритмом метода називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, яка приводить до шуканого результату (точного або наближеного). Алгоритм - одне із ґ ...
... сть у користуванні та невеликі розміри виконавчого файлу.. Створена нами програма проста та інтуїтивно зрозуміла і легка у користуванні. У пояснювальній записці вповні розглянута проблема пошуку коренів нелінійних рівнянь, наведені необхідні формули та теореми. Крім того, побудовані блок-схеми алгоритмів основних функцій відповідають діючим стандартам і вимогам. Отже, можемо зробити висновок, ...
... іальних програм він не в змозі проводити складні обчислення. Тому постає задача алгоритмізувати поставлене завдання, тобто перевести його в зрозумілу для ЕОМ форму. 1.Короткі теоретичні відомості Існує ряд методів для вирішення нелінійних рівнянь. Найбільшого поширення отримали метод половинного ділення, метод простої ітерації, метод хорд та метод Ньютона. Розглянемо суть цих методів. Метод ...
... чного сплайну. ; . Для знаходження коефіцієнті вкубічного сплайну призначена програма Work2_2. //------------------------------------------------------------ // Work2_2.cpp //------------------------------------------------------------ // "Числові методи" // Завдання 2 // Інтерполювання функції кубічним сплайном #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <conio ...
0 комментариев