В общем виде

1.3 В общем виде

Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение

и поставим задачу: найти функции Ψ₁, Ψ₂,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе ,стремящихся к нулю при .A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L₊ ,L_- ,

,

причем L₊ аналитическая в области Im(k) > τ_-, L_- аналитическая в области Im(k) < τ₊ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:

Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как

,

что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:

 

- это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L₊ L_- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ₁, Ψ₂, мы получаем следующие соотношения:

Р_n(k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ₁, Ψ_2.

Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.

Лемма1: Пусть образ F(k) аналитический в полосе ,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как ,F₊(k) аналитическая в Im(k)>τ_- , F_-(k) аналитическая в Im(k)<τ₊ .

 

 

 

 

 

Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k₀) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе.

Тогда в пределе получаем

,

где эти части есть

Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F₊(k),F_-(k) в рассматриваемой полосе.

Лемма2:Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе ,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда ,где функции Ф₊,Ф_- соответственно аналитические в

 и

 

Доказательство:

Заметим, что для функции выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F₊ , F_- , а Ф – произведением:

,Ф=Ф₊*Ф_- .

Условия на границы по мнимой оси для функций Ф₊,Ф_- сохранятся => лемма доказана.

Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения

 ⁽⁷⁾

Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля

в полосе  мы можем переходить к образам функций и мы получим

предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L(x) ф-ю

,

аналитическую в стандартной полосе  и равномерно стремящуюся к 1 при наше алгебраическое уравнение перепишется как

Далее, точно также разделяем L на две части как

,

И L₊ - аналитическая в , L_- - аналитическая в . По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U₊,U_- :

При успешном разложении последнего члена как

,

где по все той же аналогии D₊ и D_- аналитические в областях  соответственно, мы записываем решения в виде

.

При этом мы воспользовались той же сходимостью – L₊,L_- растут не быстрее чем kⁿ, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.

Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.

Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики.

 

2. Применение метода Винера-Хопфа

До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.

Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

Для этого решим к. задачу на уравнении , ,и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.

Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:

,

где f(k) - произвольная функция комплексного параметра k,

Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u):

Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ_- < Im(k) < τ₊,если при этом τ_- < 0, τ₊ > 0. Тогда

,

где L₊ аналитическая в верхней полуплоскости τ_- < Im(k), L_- аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ₊.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения

,

где константа определяется как

Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L

нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем

и

,

что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:

вычисляя интеграл, получаем

Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:

-

если вводим вспомогательную функцию так, то

,z=x+iy.

Получили ответ задачи.

Вывод

В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений ,и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.

В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0,и получали гармоническое уравнение.

В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.

Список использованной литературы

1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.”

2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”