0.6045128 ≈ 0.604

Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.

 

Задача 4

 

Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

 

Решение.

Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:



где

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96

Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.

 

Задача 5

Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.

Решение

Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):

xi

g(xi)

[xi; xi+1]

[xi; xi+1; xi+2]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]

0.3 -0.02 1.248 -1.872 0.592 0.0533333 -0.1567999
0.8 0.604 -0.624 -0.984 0.6986666 -0.3386666
1.3 0.292 -1.608 0.064 -0.0213333
1.8 -0.512 -1.544 0.032
2.3 -1.284 -1.512
2.8 -2.04

Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:


Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.

 

Задача 6

Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.

 

Решение

Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу

 где n = 3.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:

ln(x) = g0 + (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2] + … +

+(x-x0)(x-x1)∙ …∙(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]


Подставив в формулу gi и xi получим:

Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1=0.604


Задача 7.

 

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:


где ∆ng(0) и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

 

Решение

Для вычисления производной воспользуемся оператором


дифференцирования:


Выражение для вычисления производной в точке x0 имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3, применим оператор сдвига:



Для того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:

Получим выражения для ∆2y0:

 

5y0 = -y0 + 5y1 – 10y2 + 10y3 – 5y4 + y5

4y0 = y0 - 4y1 + 6y2 - 4y3 + y4

3y0 = -y0 + 3y1 – 3y2 + y3

2y0 = y0 - 2y1 + y2


Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x3 = 1.8


Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.


Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

 

Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i x y

x2

x3

x4

x5

x6

xy

x2y

x3y

1 0.3 -0.02 0.09 0.027 0.0081 0.00243 0.000728999 -0.006 -0.0018 -0.00054
1 0.8 0.604 0.64 0.512 0.4096 0.32768 0.262144 0.4832 0.38656 0.309247
1 1.3 0.292 1.69 2.197 2.8561 3.71293 4.8268 0.3796 0.493479 0.641523
1 1.8 -0.512 3.24 5.832 10.4976 18.8956 34.0122 -0.9216 -1.65888 -2.98598
1 2.3 -1.284 5.29 12.167 27.9840 64.3634 148.035 -2.9532 -6.79236 -15.6224
1 2.8 -2.04 7.84 21.952 61.4656 172.103 481.89 -5.712 -15.9936 -44.782
6 9.3 -2.96 18.79 42.687 103.22 259.405 669.026 -8.73 -23.5666 -62.4401

 


Составим системы уравнений:

Откуда a0 = -0.93621; a1 = 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001


Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P3(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a0 = -0.0710314; a1 = 0.989486; a2 = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:


P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Откуда a0 = 0.974118; a1 = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P1(x) = 0.974118 – 0.946742x

6a0 = -2.96

Откуда a0 = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P0(x) = -0.0493333


Изобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

 

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P3(x) получить аналитические выражения ΔnP3(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.


Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:

ΔP3(x)

 

P3(x)

 

Δ2P3(x)

 

Δ4P3(x)

 

Δ3P3(x)

 


Задача 10

Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:


в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:


где w1, w2 — некоторые коэффициенты


t1, t2 —точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

Составим систему уравнений

w(t) = (t-t1)(t-t2) = C0 + C1t + C2t2 = 0

C2 = 1


Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:

2C0 + 2/3 = w1 (C0 + C1t1 + t12) + w2 (C0 + C1t1 + t22)

2C0+ 2/3 = 0

C0 = -1/3


Подставляя полученные значения в первую систему, получим:


Квадратурная формула:

 

Задача 11

С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x0 до x0 +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.

 

Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.

 


Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:


L (t) = 0.24975t3 - 0.80325t2 - 0.49575t + 0.537253


Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10


Для сравнения вычислим аналитически значение интеграла:

Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.

 

Задача 12

Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.


Решение


Перейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему


Учитывая, что dx = βdt, получим:


Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):


Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:


Учитывая, что dx = βdt, получим


Применим квадратурную формулу, получим


Найдем погрешность вычисления

 

Задача 14

Степенными полиномами Чебышева Ti относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:

Ti+2 - 2x Ti+1 + Ti = 0,

с начальными условиями T0 = 1 и T1 = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если  и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.


Решение.

Исходя из того, что

xi = |yi| надо найти T4 т.е. для i = 4

Из Ti+2 - 2xTi+1 + Ti = 0 следует, что

T2 = 2xT1 - T0

T3 = 2xT2 - T1 = 2x(2xT1 - T0) - T1

T4 = 2xT3 - T2 = 2x(2x(2xT1 - T0) - T1) - 2xT1 + T0 = 8x3T1 - 4x2T0 - 4xT1 + T0

Подставим значение T0 = 1 и T1 = x

T4 = 8x4 - 4x2 - 4x2 + 1 = 8x4 - 8x2 + 1

Найдем значения x:


T4 = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T2 = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T3 = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T4 = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x4 - 8x2 + 1 = 0, где

x1 = 0.9238795

x2 = -0.9238795

x3 = 0.3826834

x4 = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

 

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x0, 0) = T0, T(x1, 0) = T1, …, T(x5, 0) = T5; (Ti = 100·yi ˚C).

На концах стержня в точках x-1 и x6 удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.



Решение.

Получаем систему диф. уравнений:


Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

 

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева Ti(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять

В качестве xi берутся |yi| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T4 = 8x4 - 8x2 + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем xнач, вычисленное по формуле


Т.к. 8x4 - 8x2 + 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач + α) = 0


Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:

получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.

 

Задача 19

Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].

Решение

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
 = f(x)

Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

Т.к. x = F(t), то:

Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0 x = 0

t = 0.1 x = -0.0622648

t = 0.2 x = -0.137833

t = 0.3 x = -0.230872

t = 0.4 x = -0.347464

t = 0.5 x = -0.496850

 

Задача 20

 

Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx + cx2,

x(0) = 0


Коэффициенты a, b, c взять из P2(x), полученного в задаче 8.

Решение

y = P2(x)

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Общая формула для решения

x = x0 + h·P2(x0, t0)

x1 = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x2 = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1

-0.624589· (-0.03551562) = -0.053854

x3 = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1

- 0.624589 (-0.053854)2) = -0.0636315

x4 = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1

-0.624589 (-0.0636315)2) = -0.0689304

x5 = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1

-0. 0.624589 (-0.0689304)2) =--0.071827

 

Задача 23

Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x1 = (y0,y1,y2); x2=(y3,y4,y5); x3=(h,x0,0).

На базе линейно независимой системы векторов x1, x2, x3 методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y1 = (y11,y21,y31); y2=(y12,y22,y32); y3=(y13,y23,y33).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1,y2, y3). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1 и транспонированную T’. Найти произведение T-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x1 = (-0.02,0.604,0.292); x2=(-0.512,-1.284,-2.04);

x3=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v1, v2, v3

 

v1 = x1

v2 = x2 + a21·v1

v3 = x3 + a32·v2 + a31·v1

v1 = (-0.02, 0.604, 0.292);

v2 = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:


det(T) = -1


Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

 

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у1, у2, у3 из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р1, Р2, Р3), саму матрицу А и ей обратную А-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

 

Решение

 

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x3-6x2-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы

x1= -1; x2= -2; x3= -3

 

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.


Решение
Информация о работе «Математический анализ»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 17555
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 22

Похожие работы

Скачать
46169
0
217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Скачать
31365
0
0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

Скачать
28459
2
2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Скачать
17837
7
5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...

0 комментариев


Наверх