Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов

 4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

При  функция выпукла;

При  функция вогнута;

При  функция выпукла;

При  функция вогнута.

Точки  - точки перегибов.

 5. Асимптот нет

1. область определения функции:

2. точки пересечения с осями координат:

При

так как  то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

Точек экстремумов нет.

Так как  то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

При функция вогнута;

При функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

асимптота.

Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения ;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.

Исследуем график функции.

Количество корней К=1.

Таким образом, функция принимает значения на отрезке ,в качестве начального приближения возьмем

метод касательных:

 составим таблицу:

1 2 3	-0,1 -0,398 -0,388	-0,001 -0,063 -0,586	1,499 -0,053 -0,0001	5,03 5,475 5,452	0,298 -0,0097 -0,00002	-0/3980 -0,3883 -0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции

Решение.

Частные производные:

Задание 213.

Дана функция  и две точки . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.

Вычислим частные производные в точке А.

Приближенное значение:

Вычислим точки значения функции:

Относительная погрешность вычисления:

Задание 223.

Даны функция  точка  и вектор а. Требуется найти:

1) grad z в точке А; 2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:

Найдем частные производные в точке А:

2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.

Частные производные:

На прямой АВ: \

На прямой АС:

На прямой ВС:

Z наибольшее =5; z наименьшее =-117.

Использованная литература:

 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век, 2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 г.