1.         получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

2.         система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача 1.

X4-свободная переменная

r = 3

система совместима.

Задача 2

т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

А11=3;А12= -1;А13= -10;А21=0;А22=0;А23= -1;А31=0;А32= -1;А33= -1.


;

.

.

.

5. Найти скалярное произведение .

6.         При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

7.         Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(2,-2) М2(1,0).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y1=k(x-x1),

значит для прямой М1М2

у+2=k(x-2)

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,


значит для прямой М1М2

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2

;

y=-2x+2

8.     В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-3,-5); М1(2,-2); М2(1,0)).

Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М0М3:

Найдём уравнение прямой М1М2:

Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y1=k(x-x1),

тогда уравнение для высоты примет вид:

y+5= -(x+3)/2

или

x+2y+13=0.

Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

Уравнение прямой EF:

y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

9.   По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

 (1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))

 (2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

F1(c;0); F2(-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-2,2).

10.      Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:


Ответы на вопросы

4.         Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

5.         Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:

.

Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:

6.         Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

3.         получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

4.         система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача 1.

 r=2; система совместима.

х 3,x 4 – свободные переменные

;.

Задача 2.

т.к. detA0, то матрица невырождена.

А11=-1; А12=-3; А13=-1;А21=-3;А22=1;А23=2;А31=2;А32=-1;А33= -3.

.


Информация о работе «Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 7829
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 14

Похожие работы

Скачать
98535
6
1

... усвоения способа действия, отдельных операций действия, доведения действий до свернутой формы - до операции. При таком понимании упражнение - частный случай задачи, используемый при закреплении и применении. В школьном курсе математики закреплению подлежат определения понятий, теоремы, правила, предписания по выполнению определенных действий. При закреплении определений необходимо предусмотреть ...

Скачать
32249
6
16

... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке.   1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом   1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...

Скачать
18574
2
0

бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...

Скачать
69018
1
0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

0 комментариев


Наверх