ФЛЕКСОР ШТЕФФЕНА

7 ФЛЕКСОР ШТЕФФЕНА

Построение модели. Для построения модели флексора Штеффена необходимо изготовить из картона две многогранных поверхности Р₁ и Р₂, изображенных на рисунке 22 (их построение описано ранее).

рис. 22. Многогранная изгибаемая поверхность Р₁

Далее следует нарисовать на картоне фигуру, изображенную на рис. 23, которая состоит из двух треугольников. Буквы a и e обозначают длины соответствующих сторон. К выбранному ранее значению a = 12 хорошо подходит

e = 17. Вырежьте нарисованную фигуру по сплошным линиям и согните по пунктирной. Получившуюся незамкнутую многогранную поверхность обозначим через R (рис. 23).

рис. 23. Многогранная изгибаемая поверхность R

Теперь все готово для склеивания многогранной поверхности Штеффена.

Зафиксируйте положение многогранной поверхности R в трехмерном пространстве так, чтобы расстояние между точками L и N было равно расстояние между точками A₁ (D₁) и C₁ (C₂).

Совместите точки K и E₁, A₁ и L, D₁ и N и склейте многогранные поверхности P₁ и R вдоль ребер A₁E₁ и KL, а также E₁D₁ и KN (рис. 24). Назовем полученную многогранную поверхность Q.

Аналогично совместите точки E₂ и M, D₂ и L, A₂ и N и склейте многогранные поверхности P₂ и Q вдоль ребер A₂E₂ и MN, а также D₂E₂ и LM (рис. 24).

рис. 24. Совмещение поверхностей Р₁, Р₂ и R

Свойства изгибаемость

Рис.25

Возьмём «зарубку Коннелли», изображённую на рис. 25.

Она представляет собой октаэдр Брикара второго типа с удалёнными гранями CDS и CDN. Её нетривиальные изгибания можно представить как вращение вершины N вокруг неподвижной прямой DC, при неподвижных отрезках SD и SC (так как расстояние DC постоянно как длина удалённого ребра изгибаемого октаэдра, три точки S, D, C можно считать неподвижными). При вращении N вершины A и B перемещаются соответственным образом. Для данного рисунка если N уходит влево (вправо), то A смещается вниз (вверх),

B уходит вверх (вниз), но вообще направления их движений зависят от конкретных длин рёбер. Рассмотрим движения точки N более подробно, для чего введём следующую систему координат: направим ось Ox вдоль прямой DC, от D к C, плоскость SDC примем за плоскость xOz, направив ось Oz вверх, начало координат поместим в середине отрезка DC (см. рис. 25). Пусть длина ребра DC равна 2a, длина SD=SC=b<a. Тогда D, C, S имеют, соответственно, координаты .

Точка N вращается вокруг оси Ox, на постоянном расстоянии d от D и C. Тогда её координаты суть

(0, d²-a² sinj, d²-a² cosj). (1)

Возьмём теперь второй экземпляр той же самой «зарубки Коннелли», идентичный рассмотренному. Расположим их сначала с полным совпадением. Если затем в первой «зарубке» точку N повернём влево, а во второй — вправо, то точки D, C, S останутся на месте, а точки N, A, B разойдутся, приняв соответственно новые положения N₁, A₁, B₁ и N₂, A₂, B₂.

Рис.26

Зафиксируем некоторые положения точек N₁ и N₂, симметричные относительно неподвижной плоскости DSC и склеим (отождествим) в этом положении рёбра SD и SC из первой «зарубки» с такими же рёбрами из второй «зарубки». Получится многогранник M, изображённый на рис. 26 и имеющий край N₁DN₂C.

Далее вершины N₁ и N₂ можно вращать согласованно так, чтобы расстояние N₁N₂ оставалось постоянным. Следовательно, отрезок N₁N₂ тогда можно принять за ребро и если мы закроем отверстие с краем N₁DN₂C двумя треугольниками N₁DN₂ и N₁CN₂, то полученный многогранник будет замкнутым, причём при соответственно подобранных размерах сторон и положениях вершин N₁ и N₂ он будет без самопересечений.

Симметрия

Заметим, что изгибаемый многогранник Штеффена обладает симметрией. Он симметричен относительно прямой, проходящей через точки F и середину ребра KM.

 Объем

Сразу же после построения первых флексоров было замечено, что при изгибании их объёмы остаются постоянными.

Доказать постоянство объема флексора можно с помощью теоремы российского математика Иджада Хаковича Сабитова, предложенной в 1996 году.

Чтобы понять ее смысл, вспомним формулу Герона. Она выражает площадь треугольника лишь через его стороны:

, где полупериметр .

Предположим сначала, что все грани многогранника — треугольники[2]. В этом случае длины его ребер однозначно определяют форму треугольных граней. Поэтому, если многогранник выпуклый, то длины ребер однозначно определяют форму многогранника, так как по теореме Коши под многогранником понимается множество M плоских многоугольников - граней, расположенных в пространстве так, что каждая сторона любого из них является стороной в точности ещё одного многоугольника. А если у многогранника однозначно задана форма, следовательно, и его объем определен также однозначно.

Теорема Сабитова устанавливает связь между длинами ребер многогранника (с треугольными гранями) и его объемом. Пусть дан многогранник, тогда можно построить специальный многочлен

F(x) = х^п + а₁х^п-1 +...+ а_п,

коэффициенты а₁,…,а_п которого выражаются через длины ребер l₁,…,l_pмногогранника. Заметим, что то, как коэффициенты многочлена выражаются через длины ребер, зависит собственно не от длин ребер и величин углов многогранника, а от его комбинаторного типа, т.е. от того, сколько ребер у граней, сколько граней у многогранника, как грани сходятся в вершинах и т.п. Подставляя теперь в коэффициенты а₁,...,а_п вместо l₁,…,l_pчисленные значения длин ребер данного многогранника, получим многочлен F(х) с конкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранника есть один из корней этого многочлена. Если бы объем флексора при изгибании менялся, то это должно было бы происходить непрерывно. А так как объем является корнем многочлена F(x), то это должен быть один и тот же корень. Таким образом, объем многогранника должен оставаться неизменным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 Трудно переоценить значение темы «Многогранники» не только в самой геометрии, но и других науках, в повседневной жизни. Без знания закономерностей, связанных с этими геометрическими телами, невозможно было бы дальнейшее изучение геометрии, развитие архитектуры, астрономии, физики.

В ходе выполнения работы, мы познакомились с происхождением терминов, связанных с многогранниками. Рассматривая уже знакомые свойства, изучали новые, ранее нам неизвестные, но весьма полезные при решении задач.

Наша работа носит исследовательский характер. Ее можно использовать в качестве дополнительного материала при изучении темы «Тетраэдр». Все изложенные факты иллюстрируются рисунками, чертежами, которые облегчают их понимание и запоминание.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.           Вениниджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.

2.     Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1.

3.     Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2: Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1952.

4.     Гуфт И.В. Об одном классе многогранников // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 1. С. 183-184.

5.     Залгаллер В.А. Непрерывно изгибаемый многогранник //Квант. 1978. № 9. С. 13-19.

6.     Сабитов И.Х. Локальная теория изгибания поверхностей // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 48. С. 196-270

7.     Долбилин Н.П.. Жемчужины теории многогранников.

8.           Сабитов И.Х.. Объёмы многогранников

9.           Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности

[1] От английского слова flex - изгибать

[2] То, что все грани треугольники, особого значения не имеет, так как любую нетреугольную грань можно разбить при помощи диагоналей на треугольники. Введенные диагонали считаются хотя и искусствен­ными, но ребрами нового многогранника, у которого все грани треугольники.