Визначення частотних характеристик заданого кола

2. Визначення частотних характеристик заданого кола

Вимоги на частотні властивості системи та її складові визначаються через відповідні параметри так званих частотних характеристик.

Частотні характеристики отримують на основі комплексної частотної функції (КЧФ) кола:

 (2.1)

де  - амплітуда діючого комплексного експоненціального сигналу ,  - амплітуда реакції  такого ж виду, як і дія є у загальному випадку величинами комплексними та функціями дійсної частоти  чи .

Ці амплітуди можуть бути виражені через параметри гармонічної реакції та дії:  - комплексна амплітуда дії,  - комплексна амплітуда реакції.

Залежність виду  називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) лінійного кола, а  - його фазо-частотною характеристикою (ФЧХ). Ця пара характеристик лінійного динамічного кола визначає його властивості в області дійсної частоти  чи  в усталеному гармонічному режимі.

Отже, знаходження частотних характеристик кола зводиться до визначення комплексної частотної функції кола.

Реакція лінійного електричного кола на гармонічний сигнал (дію) в моменти часу, коли всі процеси визначаються тільки діючим сигналом, теж є гармонічною, причому амплітуда реакції .

Графічне зображення комплексної частотної функції , яка зветься амплітудно-фазовою характеристикою або частотним годографом - це геометричне місце точок на комплексній площині кінця радіус-вектора довжиною, що дорівнює модулю КЧФ , та кутом нахилу до дійсної осі, що дорівнює значенню її аргументу, для відповідних значень частоти при її зміні від нуля до нескінченості.

Амплітудно-частотна характеристика - це модуль

КЧФ для різних значень частоти .

Фазо-частотна характеристика  - аргумент КЧФ.

Характеристика затримки чи групового часу запізнення характеризує швидкість зміни ФЧХ:

Дійсна частина КЧФ — дійсна АЧХ, а її уявна  частина - уявна АЧХ.

Логарифмічна АЧХ, що виражається в неперах

,

або в децибелах

.

Розглянемо наше коло та визначимо його частотні характеристики і вплив на них параметрів деяких елементів кола, ґрунтуючись на комплексній частотній функції у вигляді коефіцієнта передачі напруги .

Аналогічно до попереднього пункту знаходимо із урахуванням позначень для коефіцієнта згасання та частоти резонансу:

 (2.2)

Знайдемо амплітудно-частотну характеристику кола (АЧХ) як модуль комплексної частотної функції, тому (із урахуванням числових значень параметрів елементів)

 (2.3)

Фазо-частотна характеристика (ФЧХ) даного кола як аргумент визначеної комплексної частотної функції:

.(2.4)

Характеристику групового часу запізнення  отримаємо як похідну по частоті з від’ємним знаком від фазо-частотної характеристики (2.4):

 (2.5)

Графіки АЧХ та ФЧХ на рис.2.1, рис.2.2 відповідно, а характеристик групового часу запізнення на рис.2.3. Значення частотних характеристик наведені у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 Значення АЧХ, ФЧХ та характеристики групового часу запізнення для різних значень частоти.

0	0	1.571	0
1	0.667	0.653	27.775
2	0.86	0.433	16.191
3	0.929	0.311	9.016
4	0.958	0.24	5.537
5	0.972	0.195	3.697
6	0.98	0.164	2.629
7	0.985	0.141	1.959
8	0.989	0.124	1.514
9	0.991	0.11	1.204
10	0.993	0.099	0.98

Рисунок 2.1 – Амплітудно-частотна характеристика

Рисунок 2.2– Фазо-частотна характеристика

Рисунок 2.3 – Характеристика групового часу запізнення

Амплітудно-фазова характеристика (частотний годограф). Ця характеристика містить в собі АЧХ та ФЧХ. За означенням, частотний годограф – це крива, яку описує кінець вектора, довжина якого дорівнює значенню АЧХ при визначеному значенні частоти ω, а кут нахилу до осі абсцис – значенню ФЧХ при тому ж значенні частоти.

Для побудови частотного годографа скористаємось алгебраїчним представленням комплексної частотної функції:

 (2.6)

де А(ω) та В(ω) – відповідно дійсна та уявна частини КЧФ. На дійсній осі відкладаються значення А(ω), а на уявній осі комплексної площини – значення В(ω) [2]. Графічне зображення КЧФ в координатах В та А на рис.2.4. Числові дані наведені у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 Дані для побудови частотного годографа.

0	0	0
1	0.53	40.51
2	0.781	36.068
3	0.884	28.408
4	0.93	22.771
5	0.954	18.819
6	0.967	15.97
7	0.976	13.842
8	0.981	12.2
9	0.985	10.9
10	0.988	9.845
	1	0

Рисунок 2.4 – Частотний годограф

Визначимо логарифмічні частотні характеристики. Для аргументу (частоти) логарифмічною одиницею виберемо декаду, а для функцій (логарифмічних характеристик) – децибел. За означенням ЛАЧХ та ХЗ визначаються відповідно як:

(2.7)

 (2.8)

Для отримання табличних даних та для побудови графіка логарифмічної фазо-частотної характеристики (ЛФЧХ) скористаємось виразом для фазо-частотної характеристики. Графік цієї функції зобразимо на рисунку 2.6. Результати розрахунків наведені в таблиці 2.3. Графік логарифмічної АЧХ та характеристики затухання на рис 2.5.

Таблиця 2.3 Дані для побудови частотного годографа.

0	-133.979	133.979	1.571
1	-113.979	113.979	1.571
2	-93.979	93.979	1.571
3	-73.979	73.979	1.57
4	-53.98	53.98	1.567
5	-33.991	33.991	1.529
6	-14.965	14.965	1.2
7	-3.52	3.52	0.653
8	-0.063	0.063	0.099

Рисунок 2.4 – Логарифмічна АЧХ(а) та характеристика затухання(б)

Рисунок 2.5 – Логарифмічна ФЧХ

Знайдемо граничні частоти умовної смуги пропускання на рівні 3дБ, а потім значення характеристики групового часу запізнення на цих частотах.

У нашому випадку йдеться про одну смугу пропускання та дві смуги затримки: одна в області нижніх, а друга в області верхніх частот. Визначимо максимальне значення АЧХ: К_u(ω)=1. Для знаходження граничних частоти необхідно розв’язати рівняння:

.

Звідси ω_н.гр.= 1.136·107⁶ рад/с.

Таким чином умовною смугою пропускання є діапазон [2.986·10⁶;]. Таким чином має місце фільтр високих частот (ФВЧ).

Знаючи граничну частоту, визначимо характеристику групового часу затримки на рівні 3дБ: Ψ(ω_н.гр.)= 2.651·10^-8 с.