Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

2.  Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделаем выводы.

Решение:

1. а) Чтобы установить наличие и характер связи между фондом заработной платы и среднегодовой заработной платой методом аналитической группировки, построим группировку по факторному признаку (фонд заработной платы).

Ширина интервала для факторного признака равна:

(млн. руб.)

Сначала для того, чтобы составить рабочую таблицу, в которой в каждой строчке будут данные отдельно по каждой организации и итоговые данные по выделенным группам, а затем для составления итоговой аналитической таблицы, в которой будут сведения только по группам в целом, следует использовать макет.

Макет – это таблица, состоящая из строк и граф, которые еще не заполнены цифрами.

Таблица 5

№ п/п	Группы организаций по размеру фонда заработной платы, млн. руб.	Число организаций	Фонд заработной платы, млн. руб.		Среднесписочная численность работников, чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.
			всего	в среднем на 1 организацию	всего	в среднем на 1 организацию
1 2…
	Итого

Строим рабочую таблицу:

Таблица 6

№ п/п	Группы организаций по размеру фонда заработной платы, млн. Руб.	№ организации	Фонд заработной платы, млн. Руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. Руб.	Расчетная графа
			Хi		Уi	(yi- .)2
1	4,32 - 8,736	2	8,112	156	52	825,029
		6	8,532	158	54	714,136
		15	4,320	120	36	2000,175
		20	5,850	130	45	1276,155
	ИТОГО	4	26,814	564	47,543	-
2	8,736 - 13,152	1	11,340	162	70	114,989
		5	13,035	165	79	2,970
		9	12,062	163	74	45,203
		10	9,540	159	60	429,456
		14	10,465	161	65	247,223
		16	11,502	162	71	94,543
		18	12,792	164	78	7,416
		21	9,858	159	62	350,562
		22	11,826	162	73	59,650
		24	8,848	158	56	611,242
		29	10,948	161	68	161,883
	ИТОГО	11	122,216	1776	68,815	-
3	13,152 - 17,568	3	15,036	179	84	10,737
		8	17,100	190	90	86,057
		11	13,694	167	82	1,630
		13	16,082	187	86	27,843
		17	16,356	188	87	39,397
		19	17,472	192	91	105,610
		25	13,944	168	83	5,183
		27	13,280	166	80	0,523
		30	15,810	186	85	18,290
	ИТОГО	9	138,774	1623	85,505	-
4	17,568 - 21,984	4	19,012	194	98	298,484
		12	21,320	205	104	541,804
		23	18,142	193	94	176,270
	ИТОГО	3	58,474	592	98,774	-
5	21,984 - 26,4	7	26,400	220	120	1542,658
		26	23,920	208	115	1174,891
		28	22,356	207	108	744,018
	ИТОГО	3	72,676	635	114,450	-
	ВСЕГО	30	418,954	5190	-	11714,027

 

Для установления наличия и характера связи между размером фонда заработной платы и уровнем заработной платы по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:

Таблица 7.

№ п/п	Группы организаций по размеру фонда заработной платы, млн. руб.	Число организаций	Фонд заработной платы, млн. руб.		Среднесписочная численность работников, чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.
			всего	в среднем на 1 организацию	всего	в среднем на 1 организацию
		nj	xj		zj
1 2 3 4 5	4,32 – 8,736 8,736 – 13,152 13,152 – 17,568 17,568 – 21,984 21,984 – 26,4	4 11 9 3 3	26,814 122,216 138,774 58,474 72,676	6,704 11,111 15,419 19,491 24,225	564 1776 1623 592 635	47,543 68,815 85,505 98,774 114,450
	ИТОГО	30	418,954	= 13,965	5190	= 80,723

Вычисляем в каждой группе среднее значение факторного признака  и среднее значение результативного признака  по формулам:

 

где n_j – число единиц в j-той группе.

Sz_i = z_i и Sх_i=х_j- это соответственно численность работников и фонд заработной платы в j-той группе.

Вычислим общее среднее значение каждого признака в совокупности:

(млн. руб.)

(тыс. руб.)

Общее среднее значение каждого признака в совокупности можно вычислить и другим способом, как среднее арифметическое взвешенное из средних групповых и  (весом является число предприятий в каждой группе n_jи численность работников в группе z_i):

 

 (млн. руб.)

(млн.руб.)

Сравниваем изменения от группы к группе с изменениями  от группы к группе. Среднее значение результативного признака систематически изменяется вслед за средним значением факторного признака, следовательно, делаем вывод о том, что связь между ними существует. Причем с ростом фонда заработной платы среднегодовая заработная плата также увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

Корреляционная связь. При такой связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин х₁, х₂, …, х_n. Корреляционная связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом. Только при достаточно большом количестве случаев каждому значению случайного признака х будет соответствовать распределение средних значений случайного признака у.

б) Установим наличие и характер связи между фондом заработной платы и среднегодовым уровнем заработной платы методом корреляционной таблицы.

Составим корреляционную таблицу, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам.

Таблица 8.

Заработная плата, тыс. руб. Фонд заработной платы, млн. руб.	36-52,8	52,8-69,6	69,6-86,4	86,4-103,2	103,2-120	Итого
4,32 – 8,736	3	1				4
8,736 – 13,152		5	6			11
13,152 – 17,568			6	3		9
17,568 – 21,984				2	1	3
21,984 – 26,4					3	3
Итого	3	6	12	5	4	30

Анализ корреляционной таблицы также свидетельствует о том, что между фондом заработной платы и среднегодовой заработной платой существует прямая корреляционная зависимость.

2. Измерим тесноту связи между исследуемыми признаками с использованием эмпирического корреляционного отношения:

где  – коэффициент детерминации;

δ² – межгрупповая дисперсия;

σ²– общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию между группами. Ее рассчитываем по формуле:

где  – среднее значение результативного признака в j-группе;

 – общее среднее значение результативного признака в совокупности;

n_j – число единиц в j-группе;

j – счетчик групп.

Составим расчетную таблицу:

Таблица 9.

№ п/п	Группы организаций по уровню фонда заработной платы, млн. руб.	Число организаций	Размер заработной платы в среднем на 1 организацию, тыс. руб.	Расчетная графа
		nj		( - )2*nj
1	4,32 - 8,736	4	47,54	4403,852
2	8,736 - 13,152	11	68,82	1559,805
3	13,152 - 17,568	9	85,50	205,748
4	17,568 - 21,984	3	98,77	977,444
5	21,984 - 26,4	3	114,45	3412,548
	ИТОГО	30	= 80,723	10559,396

Нашли дисперсию, характеризующую вариацию размера среднегодовой заработной платы, возникающую под влиянием фонда заработной платы.

Общая дисперсия характеризует вариацию отдельных значений признака относительно общей средней. Ее определяем по формуле:

Расчет  представлен в последней графе таблицы №6.

Нашли дисперсию, характеризующую вариацию фонда заработной платы, возникающую под влиянием всех причин, действующих на совокупность.

Коэффициент детерминации равен:

Т.е. 90,1% вариации среднегодовой заработной платы вызывает вариация фонда заработной платы.

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

Т.к. η > 0,7, то связь между фондом заработной платы и среднегодовой заработной платой очень тесная, т.е. фонд заработной платы сильно влияет на уровень среднегодовой заработной платы.

Значимость коэффициента детерминации можно проверить по критерию Фишера:

где d_f1 = k – 1 – степень свободы 1;

k - число групп;

d_f2 = n – k - степень свободы 2;

n – число единиц совокупности.

F_табл. (0,05; 4; 25) = 2,76

F_расч. > F_табл. Þ связь между исследуемыми признаками статистически значимая и коэффициент детерминации статистически достоверен.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1.  Ошибку выборки среднегодовой заработной платы и границы, в которых будет находиться уровень среднегодовой заработной платы в генеральной совокупности.

2.  Ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

 

Решение:

1. Так как дана 20%-ная, механическая выборка, то ошибку выборки среднего выпуска продукции m определим по формуле:

n = 30 (организаций)

σ² = 367,1565 (см. задание 1)

 (тыс. руб.)

Границы, в которых будет находиться средняя заработная плата в генеральной совокупности, определяются следующим образом:

где  – средняя заработная плата в выборке;

 = 80,81 (тыс. руб.)

D - предельная ошибка выборки.

где t – коэффициент доверия. Для доверительной вероятности 0,954 он равен: t = 2.

D = 2 * 3,13 = 6,26 (тыс. руб.)

80,81 - 6,26 £  £ 80,81 + 6,26

74,55 £  £ 87,07

Т.е. с вероятностью 0,954 можно ожидать, что средняя заработная плата в генеральной совокупности находится в пределах от 74,55 до 87,07 тыс. руб.

2. Доля организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более составляет:

где m – количество организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более.

m = 5 + 4 = 9

 или 30,0%

Т.е. доля организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более составляет 30% от общего числа организаций в выборке.

Ошибку выборки доли организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более определим по той же формуле:

где дисперсия σ² равна:

 

σ² = w * (1 - w) = 0,3 * (1 – 0,3) = 0,21

Предельная ошибка выборки составляет:

D = t * m = 2 * 0,075 = 0,15

Границы, в которых будет находиться генеральная доля р, равны:

 

w - D £ р £ w + D

0,3 – 0,15 £ р £ 0,3 + 0,15

0,15 £ р £ 0,45

Т.е. с вероятностью 0,954 можно ожидать, что доля организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более, в генеральной совокупности будет составлять от 15% до 45%.

Задание 4

Имеются следующие данные по двум организациям:

Таблица 10.

Организация	Базисный период		Отчетный период
	Средняя заработная плата, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
№1	5000	100	6500	682,5
№2	5600	100	8000	760,0

 

Определите:

1.  Индексы динамики средней заработной платы по каждой организации.

2.  По двум организациям вместе:

- индексы средней заработной платы переменного, постоянного состава и структурного сдвигов;

- абсолютное изменение средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов;

- абсолютное изменение фонда заработной платы вследствие изменения среднесписочной численности работников, средней заработной платы и двух факторов вместе.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Индексы динамики средней заработной платы равны:

где f₀ и f₁ – заработная плата соответственно в базисном и отчетном периодах.

№1:

№2:

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом средняя заработная плата в организации №1 увеличилась на 30%, а во второй организации – на 42,8%.

2. Для дальнейших расчетов составим расчетную таблицу:

Таблица 11.

Организация	Базисный период				Отчетный период
	Средняя заработная плата, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Фонд заработной платы, руб.	Средняя заработная плата, руб.		Фонд заработной платы, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.
	f0	T0	f0T0	f1		f1T1	T1	f0T1
№1	5000	100	500000	6500		682500	105	525000
№2	5600	100	560000	8000		760000	95	532000
Итого	-	200	1060000	-		1442500	200	1057000

а) Индекс средней заработной платы переменного состава равен:

Абсолютное изменение средней заработной платы составило:

Df = 7212,5 – 5300 = 1912,5 (руб.)

б) Индекс средней заработной платы постоянного состава равен:

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет изменения заработной платы по каждой организации отдельно составило:

Df(f) = 7212,5 – 5285 = 1927,5 (руб.)

в) Индекс структурных сдвигов равен:

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет структурных сдвигов в численности работников составило:

Df(стр.) = 5285 – 5300 = -15 (руб.)

Между вычисленными показателями существует следующая взаимосвязь:

1,361 = 1,365 * 0,997

Df = Df(f) + Df(стр.)

1912,5 = 1927,5 + (-15)

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным средняя заработная плата по двум организациям увеличилась на 36,1% или на 1912,5 рублей. Это произошло под влиянием двух факторов. Во-первых, за счет увеличения заработной платы в каждой организации в отдельности средняя заработная плата по двум организациям вместе увеличилась на 36,5% или на 1927,5 руб. Во-вторых, за счет структурных изменений в численности работников (увеличения доли работников в организации с меньшей заработной платой) средняя заработная плата по двум организациям сократилась на 0,3% или на 15 рублей.

Абсолютное изменение фонда заработной платы за счет отдельных факторов определим, исходя из следующей модели:

 

I_F = I_T ´I_f

Итак, абсолютное изменение фонда заработной платы составило:

- вследствие изменения среднесписочной численности работников:

DF(T) = åf₀T₁ - åf₀T₀ = 1057000 – 1060000 = -3000 (руб.)

- вследствие изменения средней заработной платы:

DF(f) = åf₁T₁ - åf₀T₁ = 1442500 – 1057000 = 385500 (руб.)

- за счет двух факторов вместе:

DF = åf₁T₁ - åf₀T₀ = 1442500 – 1060000 = 382500 (руб.)

DF = DF(T) + DF(f)

382500 = -3000 + 385500

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным фонд заработной платы по двум организациям в целом увеличился на 382500 руб. Это произошло под влиянием двух факторов. Во-первых, за счет сокращения среднесписочной численности работников фонд заработной платы сократился на 3000 руб. Во-вторых, за счет повышения средней заработной платы фонд заработной платы увеличился на 385500 руб.