Контрольная работа

высшая математика


ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1..

==.

2. .

.====0.

3. ..

.====-∞.

б) .

Решение.==

==

 ===

 

Предел  вычислен подстановкой

Предел  не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо  показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение  является сопряженным по отношению к выражению , а выражение  - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ()·(), и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

 

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаме­натели равны пулю.

 и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида  и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если— корни квадратного трехчлена, то,

= Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Отсюда,

Аналогично,

Поэтому,

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

 ==

=

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

Ответ:10.

 

д)

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при  равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость .

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной при этом

Так как  при то

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

Ответ:

 


ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функций а) – в):

а) Вычислить производную функции

б) Вычислить производную функции

1. .

в) Вычислить производную функции

.

.◄

2. .

.◄

3.

.◄


ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию  и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1.           Областью определения функции является множество .

2.           Ордината точки графика .

3.           Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4.           Легко находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота


Информация о работе «Высшая математика»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9830
Количество таблиц: 13
Количество изображений: 12

Похожие работы

Скачать
4521
0
0

Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...

Скачать
13764
1
0

урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...

Скачать
149274
13
5

... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Скачать
18574
2
0

бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...

0 комментариев


Наверх