Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

y

y = arcsin(1/x)

π/2

-π/2

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

| x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

		y
				x

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

y

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x²).

π/2

Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

0

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

	1		x

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos²(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π² до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x²-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

y

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

π/2   X	0	< x <	1	< x <	+∞
1   -1   u=1/(x2-1)	-1	↘	+ ∞ - ∞	↘	0
0   x   y=arctg(u)	- π/4	↘	π/2 - π/2	↘	0

-π/4

-π/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1.    Т.к. cos²x + sin²x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2.    Из тождества следует: