Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

2315
знаков
0
таблиц
0
изображений
Алгебраическое доказательство теоремы пифагора

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

С22 + В2, /1/

где: С - гипотенуза;

А и В - катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А2 = С22 /2/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А2= (C-B) (C+B) /3/

Используя метод замены переменных, обозначим:

C-B=M /4/

Из уравнения /4/ имеем:

C=B+M /5/

Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:

А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2 /6/

Из уравнения /6/ имеем:

А2 - M2=2BM /7/

Отсюда: B = /8/

Из уравнений /5/ и /8/ имеем:

C=  /9/

Таким образом:

B = /10/

C  /11/

Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2.

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.

Из изложенного следует:

Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).

Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.

Все числа являются пифагоровыми.

Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.


Информация о работе «Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 2315
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
15215
0
7

... г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют “креслом невесты”, состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2. На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата “Чжоу-би...”. Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на ...

Скачать
6302
0
0

... , существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Вариант 1   Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:   А2m= С2m –В2m =(Сm –Вm)∙(Сm +Вm) /15/ Тогда в соответствии с ...

Скачать
27046
29
9

... ³9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту Литература (Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].) Список литературы И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton- ...

Скачать
53049
2
0

... , что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались ...

0 комментариев


Наверх