Використання енергії хвиль системою осцилюючих поверхневих розподілів тиску

Використання енергії хвиль системою осцилюючих поверхневих розподілів тиску

Вступ

Ряд пристроїв хвильової енергії, у цей час розглянуті і у Великобританії, і в іншому місці мають режим роботи, який базується на наступному принципі. Область вільної поверхні оточена твердою порожньою плаваючою структурою, відкритою на зануреному кінці днища, який захоплює об’єм повітря вище цієї внутрішньої вільної поверхні. Область набігаючої хвилі створює підвищення та падіння вільної поверхні, і об’єм повітря приводить у рух назад і вперед з високою швидкістю через стиск, що містить повітряну турбіну, яка живить генератор для прямого перетворення в електрику. У моделі повітряна турбіна замінена простою пластиною з отвором - розмір отвору регулюється так, щоб відповідати характеристикам турбіни в повному масштабі. Приклади пристроїв, які працюють на цьому принципі - C.E.G.B. пристрій (Коунт та ін. 1981), буй був розроблений Королівським Університетом, Белфаст, та опротестований в Японії. Описи цих двох пристроїв можна знайти в Кварела (1978).

При дослідженні гідродинамічної моделі таких пристроїв, автори використали теорію, розроблену до пристроїв хвильової енергії, які включають тверді коливні тіла і описані, наприклад, в Еванса (1981). Це звичайно включає заміну вільної поверхні невагомим поршнем і вимагає визначення додаткової маси і демпфування поршня. Приклади такого підходу, який нехтує будь-яким просторовими змінами у внутрішній вільній поверхні, викликані поверхневим тиском, в Еванса (1978), який розглядає резонансні коливання вузького водного стовпа в зануреній відкритій вертикальній трубі, Коунт та ін. (1981), які обчислюють гідродинамічний коефіцієнт для C.E.G.B. пристроя енергії хвилі, який може бути точно описаний як напіввідкрита сірникова коробка, що пливе догори ногами на водній поверхні. Ця стаття представляє більш точну та більш просту теорію для таких пристроїв, яка правильно враховує прикладений поверхневий тиск і послідовну просторову зміну внутрішньої вільної поверхні.

Подібний підхід до двовимірної задачі хвильової енергії був зроблений Фалькао та Сарменто (1980), продовжуючи роботу Стокера (1957). Дана робота узагальнює їхні результати для довільних розподілів тиску як для двох так і трьох вимірного випадку. У іншому контексті Огільві (1969) також розглянув деякі двовимірні задачі, які включають області тиску. Отримані результати він використав для передбачення руху довгого транспортного засобу з повітряною подушкою. Він також вирішив явно важку задачу однорідної області тиску по частині поверхні, яка обмежена двома однаково зануреними вертикальними пластини. Обчислення рішення не проводилось.

Загальна теорія розроблена в § 2 та використані результати для гіпотетичного максимального поглинання енергії довільної системи поглинаючих енергію розподілів тиску. Близька подібність до відповідних результатів з теорії твердих тіл пропонує різні взаємовідношення між деяким випромінюванням та розсіюванням задачі, які належним чином доведені в додатку. Прості спеціальні випадки, які ілюструють загальну теорію, представлені в §2 та §3, де до того ж практичніші міркування забезпечують умови резонансу. В §4 зроблено порівняння з резонансними умовами теорії твердого тіла і представлені криві максимальної ширини поглинання в кожному випадку для окремого круглого поверхневого тиску або твердого диска.

1. Формулювання

Для установки ідеї, ми розглядаємо встановлену структуру відкритою на задньому кінці і закритою на передньому кінці, який перетинає вільну поверхню, захоплюючи обсяг повітря в ряд ізольованих секцій, кожна має свою власну внутрішню вільну поверхню. Ефект ряду набігаючих хвиль змушує внутрішні вільні поверхні коливатися з тією ж частотою, як і набігаюча хвиля, змушуючи їх повітряні обсяги рухатися назад і вперед через стискувачі, які містяться в турбінах. Приймається, що стискаємість повітря маленька, таким чином, щоб повітряний тиск у кожній турбіні був такий же, як однорідний розподіл тиску трохи вище відповідної вільної поверхні. Повна середня оцінка виконання роботи буде сума середнього часу вироблення цих тисків і об’ємів потоків через турбіни, що у свою чергу є тим самим, що й вироблення просторового середнього числа вертикальної швидкості кожної внутрішньої вільної поверхні і її областей. В даній роботі ми припускаємо, що характеристики турбіни лінійні так, що зниження тиску поперек турбіни пропорційне об’єму потоку через неї. Візьмемо декартову систему координат з осями x, y горизонтальними і віссю z вертикальною, з z= 0 незбуреною вільною поверхнею.

Відповідно до припущень про лінійну теорію водної хвилі, ми можемо скласти потенціал швидкості Ф(x, y, z, t) для задоволення задачі:

де Si - i – та внутрішня вільна поверхня, SF - зовнішня вільна поверхня, і h (x, y, t) – підйом поверхні, який задовольняє:

Тут Рі(t) - поки ще невідомий простий гармонічний тиск на Si. Ефект структури частково розсіює набігаючи хвилі таким чином, щоб на більших відстанях, окрім потенціалу набігаючої хвилі, там виникала область хвилі, яка рухається далеко від структури. Потенціал набігаючої хвилі можна описати:

де

k = w2/g,

і набір набігаючих хвиль утворюють з позитивною віссю х кути b.

Рівняння (2.2) і (2.3) можна об’єднати, щоб отримати:

для простих гармонійних рухів.

Зручно писати:

де Фd позначає розсіяний позитивний набігаючий потенціал інциденту, який задовольняє (2.1), (2.4) і (2.6) з Рі (t) = 0 ; Y - випромінювальний потенціал, який задовольняє (2.1), (2.4) і (2.6), але який поводиться подібно відступаючим хвилям на більших відстанях. Тоді зрозуміло, що Ф як дана в (2.7) задовольнить всі умови задачі.

Тепер норма об’єму потоку через Si :

Тоді повна норма роботи сил тиску через всю Si :

де P, Qd, Q, є векторами-стовбцями, в яких і – ті компоненти - Рі, Qdі та Qі відповідно. Тепер простий гармонічний тиск Рі(t) в Si - один даватиме збільшення норм обсягів потоку Qj (t) на Sj (j = 1, ..., N), які є також простою гармонікою в часі. Робимо довільне але зручне розкладання:

де A, B - реальні симетричні матриці розмірністю NxN , з B коефіцієнтом демпфування, взагалі визначеним позитивним, який, в принципі, можна обчислити. Розкладання (2.9) можна порівняти з звичайним розкладанням сили на коливальному тілі в позначеннях доданої маси і матриць демпфування.

На цій стадії зручно представити незалежні від часу величини. Запишемо:

Потім усереднюючи період, середня норма роботи сил тиску стає:

Тут * означає сполучене транспонування.

У позначеннях незалежних від часу величинах (2.9) можна переписати:

де

повна комплексна провідність. Тоді (2.10) стає:

де відмітимо, що А не з’являється. Вираз (2.12) можна переписати у вигляді:

З цього випливає, що якщо B-1 існує:

де

Тоді б максимальна середня потужність була б досягнута впевненістю, що тиск в, скажемо, Si є лінійною комбінацією об’ємів потоків, які викликані в кожній S j , j = 1, ..., N, через одну набігаючи позитивну розсіювану хвилю, пропорційні константи такі як в (2.15) задоволені. Результати (2.14) і (2.15) ідентичні відповідним виразам, отриманим для системи незалежно коливающихся тіл поглинання в наборі регулярних набігаючих хвиль. Тоді, ролі тиску та набігаючого хвильового об’єму потоку замінені швидкістю та набігаючою хвилею, яка збуджує силу на тілах.

Тепер практично, керувати об’ємом потоку через турбіни легше ніж через зниження тиску. Приймемо лінійне відношення між ними у вигляді:

де L - матриця розмірністю NxN. Помітьте, що знак перед L прийнятий позитивним тоді як, на відміну від (2.11), сили тиску і об’єми потоків вимірюються в напрямку вверх. Якщо це використати в об’єднанні з (2.11), отримаємо:

що з (2.15) показує:

для максимальної потужності. Тут риска означає сполучений комплекс. Фактично (2.13) можна записати після деякої маніпуляції:

де

і застосовуємо (2.17). Ця форма показує явно імпеданс, який відповідає умові необхідній для оптимальності.

На жаль, у дійсності, якщо турбіни не зв'язані, кожна турбіна матиме свою власну характеристику тиск/потік, яка тут прийнята лінійною, таким чином, щоб L була діагональною матрицею, враховуючи, що B і А – повні матриці. Крім того, якщо характеристики насоса показують стадію затримки між тиском і об’ємом потоку, елементи L будуть реальні і позитивні. Таким чином у частинному випадку вираз (2.19) повинен мати не нульовий елемент lі L. Навіть у найпростішому випадку, коли всі l ідентичні, не факт, що будь-який очевидний аналітичний метод максимізації (2.19) і числової оптимізації повинен використатися.

Тепер зрозумілий спосіб переходу до частинної задачі. Спочатку потрібно визначити складну матрицю повної провідності Z, або теоретично або експериментально. Це включає знаходження об’єму потоку, викликаного через весь Sj через однорідний розподіл тиску по кожному Sj почерзі. Потім qd , вимушений об’єм потоку через кожен Sj через окремий дифрагований потенціал, необхідно визначити і в результаті можна отримати середню потужність поглинання з (2.19) в позначеннях (прийнятих лінійними) характеристик турбіни змодельованих матрицею L.

Перед розглядом специфічних прикладів, цікаво розглянути теоретичний максимум потужності відповідно до припущення, що імпеданс може бути погоджений точно. Іншими словами ми припускаємо, що є механізм контролю, який гарантує, що L = Z таким чином, що об’єм потоку через Sj - визначена лінійна комбінація тисків у кожному Sj. У цьому випадку:

результат паралельний результату у теорії для систем незалежно коливающихся поглинаючих твердих тіл (Еванс 1979; Falnes 1980), де qd замінена збудженим вектором сили на системі тіл.

Тепер, в рівнянні додатка (А 27) показано, що елементи B пов’язані з елементами вектора qd таким чином, щоб необхідно було тільки визначити, вимушений об’єм потоку через кожну Sj завдяки дифрагованому потенціалу хвилі як в (А 17), для одержання елементів матриці демпфування B та результуючого Wmаx з (2.21). Тепер дифрагований потенціал виникає через присутність будь-якої встановленої твердої структури та не залежить від розподілів тиску. Таким чином, фd , а отже qdi може бути визначене використовуючи існуючі дифракційні програми, звичайні в корабельній гідродинамічній теорії.

Подальше спрощення можливо, якщо можна припустити, що фіксована занурена частина поглинача – маленька осадка судна. Тоді єдиний гідродинамічний ефект структури повинен обмежити розмір і форму внутрішніх вільних поверхонь Sі. Але тепер оцінка qd тривіальна, оскільки вимагає тільки інтегрування набігаючого потенціалу по Si, оскільки розсіяним потенціалом можна знехтувати.

Як приклад загальної теорії ми розглядаємо тільки одну внутрішню вільну поверхню S1, так, щоб:

коли з (А1)

Якщо S1 та SB асиметричні таким чином, що qd не залежить від кута атаки, отримаємо:

де l(b) означає ширину захвата для пристрою, і l - довжина набігаючої хвилі. Цей результат ідентичний отриманим для асиметричних окремих поглинаючих тіл коливання у вертикальних переміщеннях (Будал та Калнес 1975; Кванс 1970, Нюман 1976).

Для неасиметричних розподілів тиску, які мають нульову тягу подальше просування можна все ще зробити, використовуючи (2.23).

Рис.1. Зміна максимального відношення ширини захвата, lmax/2b з кутом атаки b для регулярних хвиль, які наближаються до прямокутного поглинаючого поверхневого розподілу тиску, для різних значень безрозмірного числового числа ka і b/a = 2. Пунктири показують асиметричні значення (2kb)-l

Ми маємо з (2.22) - (2.24):

Розглянемо окремий прямокутний розподіл тиску з нульовою тягою, яка охоплює S1 : |х|£а, |y|£ b. Тоді:

де

таким чином, що:

де

Цей простий вираз дозволяє зробити оцінку впливу форми і орієнтації окремого прямокутного розподілу тиску на ширині захвата максимальної потужності.

Зверніть увагу, що з (2.25):

таким чином, що частинний випадок:

ілюструє відносну ефективність поверхні тиску в відходящих та зустрічних хвилях.

Рис. 2. Зміна відношення максимальної ширини захвата, lmax/2b з відносним подовженням b/a, для регулярних хвиль, які наближаються до прямокутного поглинаючого поверхневого розподілу тиску для різних значень безрозмірного хвильового числа ka.

Результати, які базуються на обчисленні рівнянь (2.25) - (2.27) даються на рис. 1 і 2. На рис. 1 ширина захвата безрозмірна відносно ширини пристрою 2b, зображена як функція кута атаки хвилі для випадку b/a = 2 і для різних значень ka. Не показаним є випадок b=a, де зміна lmax/2b з аксіально-симетричних результатів (2.24) є маленькою з оптимальним кутом атаки рівним b = ¼ p, коли гребені хвилі паралельні діагоналі квадрату. Як могло б очікуватися, коливання lmax/2b з b більші для більшого ka, оскільки прямокутна форма більше впливає на коротші хвилі. Наприклад аксіально-симетричний розподіл тиску має максимальну ширину захвата близько 5/8 діаметру в хвилях приблизно 8 розмірів діаметру (ka = 0,4). Для прямокутного розподілу тієї ж самої ширини але половини довжини (b/a = 2) збільшення в ширині захвата в убігаючих хвилях, b=0 °, є тільки приблизно 10 %. З іншого боку, для хвиль 4 розмірів діаметру (ka = 0, 8) ширина захвата збільшується приблизно до 60 % з 3/10 діаметру до приблизно 2/5 ширини пристрою. Оскільки з формули (2.26) ми знаходимо, що протилежний ефект відбувається в верхніх морях b = ½p, де прямокутний розподіл (з b/a® 1) завжди менш ефективний ніж аксіально-симетричний розподіл. Як відношення ширини захвату в убігаючих хвилях залежить від відносного подовження (b/a) прямокутного розподілу показано на рис. 2 для різних значень ka. Як могло б очікуватися, з b/a® ¥ відношення ширини захвата наближається до 0, 5, що є результатом для ефективності потужності поглинання двовимірним розподілом (див. рівняння (2.29)).

Результати, які відповідають двовимірним розподілам тиску можна отримати, повертаючись до (2.21) і використовуючи результати (А 32), (А 33), які дають:

Знову, що стосується тривимірних розподілів тиску, для визначення значення максимальної ефективності, необхідно тільки вирішити єдину дифракційну задачу для розсіювання набору хвиль твердою частиною системи поверхонь тиску. Як тільки це визначено, qdm знаходиться з (А 17), а максимальна потужність поглинання з (2.21).

Значно спростити задачу, можна розглянувши випадок однієї поверхні тиску, тоді одержуємо ефективність потужності поглинання:

Тут Wmах - інтерпретується як максимальна середня потужність поглинання одиницею ширини розподілу тиску.

Для хвиль, які наближаються з x = +¥ аргумент нумератора повинен бути замінений p. Альтернативний вираз:

( де f ± визначений з (А 28)), показує, як для твердого поглинача хвильової енергії у двох вимірах, що гарний нереверсивний генератор хвилі (у напрямку від того, де набігаюча хвиля прибуває) є гарним поглиначем.

Знову з (2.30) витікає, що для розподілу тиску, який симетричний щодо осі x, таким чином, що f + = f -, максимум ефективності є ½ , в той час як з (2.30) для довільного єдиного розподілу тиску:

Для наступного найпростішого випадку двох розподілів тиску (N = 2), підстановка (2.28) в (2.21) дає, після деяких математичних перетворень:

показує, що вся енергія набігаючих хвиль може бути поглинена. Цей результат забезпечує:

що є умовою, яка гарантує, що B-1 існує. З (А 34) рівняння (2.31), як видно, еквівалентне

умова, яка зустрічається у випадку твердого тіла, як в Срокоза та Еванса (1979), так і в Коунта та Джеферса (1980), які вказують, що це виключає обидва способи, як симетричний (fт + = fт - ), так і або асиметричний (fт + = - fт - ).

Якщо N> 2 , формула (2.14) більше не застосовується, оскільки B автоматично сингулярне. Це випливає з того, що B можна записати:

що показує, що B може мати порядок 2 та більше. Це твердження також отримане Коунто та Джеферсом (1980) в контексті твердого тіла.

Формула (2.32) забезпечує альтернативний вираз до (2.12) для середньої потужності, а саме:

який є аналогічним отриманому Ньюманом (1976), рівняння (61а) для випадку твердого тіла, яке коливається багатьма способами.

Здається імовірно, що максимальна поглинальна ефективність для N> 2 є також одиничною, але загального доказу з (2.33) ще немає. Зрозуміло, однак, що оптимальні значення для p не будуть єдиними.