Автоколебания системы с одной степенью свободы

11391
знак
0
таблиц
4
изображения
Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Автоколебания системы с одной степенью свободы
Автоколебания системы с одной степенью свободы

Начальные условия выберем так:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

F2 - степенной ряд по b 1 b 2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Решая задачи Коши, получим:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы Автоколебания системы с одной степенью свободы

Введем обозначения Автоколебания системы с одной степенью свободы; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Если в этой системе можно b 1 b 2 представить в виде функции m так, чтобы b 1 b 2, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

Автоколебания системы с одной степенью свободы

В нашем случае: Автоколебания системы с одной степенью свободы

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

Автоколебания системы с одной степенью свободы § 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x '.

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде Автоколебания системы с одной степенью свободыАвтоколебания системы с одной степенью свободы функции времениАвтоколебания системы с одной степенью свободы Удовлетворяют тому же уравнению, что и x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

Автоколебания системы с одной степенью свободы; аналогичным образом можно показать, что Автоколебания системы с одной степенью свободы (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m .

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Автоколебания системы с одной степенью свободыбудем искать в виде: Автоколебания системы с одной степенью свободы (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:

Автоколебания системы с одной степенью свободы Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получимАвтоколебания системы с одной степенью свободы

Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

Автоколебания системы с одной степенью свободы(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

Автоколебания системы с одной степенью свободы(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a 1, a 2 - характеристические показатели.

Если все Автоколебания системы с одной степенью свободы , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

Автоколебания системы с одной степенью свободы=0 (16)
Полагаем Автоколебания системы с одной степенью свободы;
Автоколебания системы с одной степенью свободы

Тогда определитель будет:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a ), или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные: Автоколебания системы с одной степенью свободы ; (21) устойчивость соответствует Автоколебания системы с одной степенью свободы p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

Автоколебания системы с одной степенью свободы(22)

Если принять во внимание (15)

Автоколебания системы с одной степенью свободы(22a)
Автоколебания системы с одной степенью свободы(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w № n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

Автоколебания системы с одной степенью свободы (23a) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l = m l о; w 2 = 1+ aо m , (24) (aо , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо № 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

Автоколебания системы с одной степенью свободы (25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : Автоколебания системы с одной степенью свободы(26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

Автоколебания системы с одной степенью свободы (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

Автоколебания системы с одной степенью свободы (29)

Запишем условия периодичности для (27):

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Делим на m :

Автоколебания системы с одной степенью свободы ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

Автоколебания системы с одной степенью свободы (31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

Автоколебания системы с одной степенью свободы

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b 1, b 2, в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

Автоколебания системы с одной степенью свободы(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Решение опять будем искать в виде Автоколебания системы с одной степенью свободы. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв: Автоколебания системы с одной степенью свободы

Из формул (22) Автоколебания системы с одной степенью свободыАвтоколебания системы с одной степенью свободы (34) , тогда Автоколебания системы с одной степенью свободы D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

Автоколебания системы с одной степенью свободы
Автоколебания системы с одной степенью свободы (36)
Автоколебания системы с одной степенью свободы;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

Автоколебания системы с одной степенью свободы ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )

1) p2 - q < 0 Автоколебания системы с одной степенью свободы

2) p2 - q > 0 Автоколебания системы с одной степенью свободы

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае Автоколебания системы с одной степенью свободы (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

Автоколебания системы с одной степенью свободы (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

Автоколебания системы с одной степенью свободы(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения Автоколебания системы с одной степенью свободы .

Далее, вводя обозначения: Автоколебания системы с одной степенью свободы

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Получим дифференциальное уравнение для х:

Автоколебания системы с одной степенью свободы (41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагаяАвтоколебания системы с одной степенью свободы.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Если w > 1, т.е. w о > w 1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

Автоколебания системы с одной степенью свободы(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Или преобразовав их, получим следующее:

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

Автоколебания системы с одной степенью свободы (46) Автоколебания системы с одной степенью свободы

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1) Автоколебания системы с одной степенью свободы

a0 - является общим корнем уравнений

Автоколебания системы с одной степенью свободы

2) Автоколебания системы с одной степенью свободы

Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: D w = aо w 2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l 2о << 1; D w = w о Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов Автоколебания системы с одной степенью свободы ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.
Информация о работе «Автоколебания системы с одной степенью свободы»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11391
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
11651
0
21

... что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,  > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ). § 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола. Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который ...

Скачать
58635
3
11

... более прозаично связаны с периодическими колебаниями физических систем и воздействием на них сторонних сил, имеющих также физическую природу. Итак, природные катаклизмы вызываются периодическими колебаниями системы атмосфера – океан – Земля под воздействием Солнца (прецессия), неравномерности прогрева атмосферы (воздействие воздушных масс на Землю), неравномерным прогревом океана (океанические ...

Скачать
43854
0
18

... начальным условиям  . Пусть  — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где . 2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 2.1. Устойчивость по Ляпунову. Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует ...

Скачать
26656
0
9

... осцилляторов 8. 1. Синхронизация N связанных осцилляторов Рассмотрим синхронизацию N связанных осцилляторов на примере электронных генераторов, связанных через емкость, индуктивность и сопротивление. Уравнения колебаний в такой системе имеют вид: (i=1,2,...,N). (5) Здесь xi – напряжения на входах усилителей, ωi – собственные частоты ...

0 комментариев


Наверх