Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

14032
знака
1
таблица
3
изображения
(алгебра и начала анализа) Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

§ 1. Определения.

§ 2. Алгоритм решения.

§ 3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

§ 1. Определения.

§ 2. Алгоритм решения.

§ 3. Примеры.

IV. Список литературы.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1)

где a, b, c, …, k , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎ А, bÎ B, …, xÎ X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения. Находим область определения уравнения. Выражаем a как функцию от х. В системе координат хОа строим график функции а=¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ (-¥ ;+¥ ) с графиком функции а=¦ (х).Если прямая а=с пересекает график а=¦ (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦ (х) относительно х.

Записываем ответ. § 3. Примеры

I. Решить уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром или Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, получаем

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и рассмотрев пару функций Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

В системе координат хОу построим график функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром). Для этого можно представить её в виде Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Поскольку график функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Поэтому находим производную Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Ответ: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Множеством точек плоскости Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Случай касания “полупараболы” с прямой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром определим из условия существования единственного решения системы

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

В этом случае уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

имеет один корень, откуда находим :

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Следовательно, исходная система не имеет решений при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, а при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром или Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥ ;-3] È (Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;+¥ ).

IV. Решить уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решение.

Использовав равенство Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, заданное уравнение перепишем в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Это уравнение равносильно системе

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Уравнение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром перепишем в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Из графика следует, что при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики функций совпадают и, следовательно, все значения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром являются решениями уравнения (*).

При Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Таким образом, при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром уравнение (*) имеет единственное решение - Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Пусть Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, тогда Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Система примет вид

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , можно заключить, что при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметромисходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром . Система неравенств примет вид

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Ответ:

если аÎ (-¥ ;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

если aÎ [7;+ ¥ ), то решений нет.

V. Решить уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , где а - параметр. (5)

Решение.

При любом а : Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Строим график функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , выделяем ту его часть , которая соответствует Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Затем отметим ту часть графика функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , которая соответствует Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметромГрафическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то решений нет;

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, при которых системы

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (1)

и

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром имеет смысл только при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, получаем после преобразований систему

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Поскольку Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, а Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром окружность касается прямой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то система (4) имеет четыре решения, если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, и больше четырех решений, если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , иметь общие точки с гиперболой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (прямая Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром).

Для решения этого рассмотрим уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром,

которое удобнее переписать в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, т.е. если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то система (3) имеет два решения; если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то система (3) имеет три решения; если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Ответ: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

II. Неравенства с параметрами. § 1. Основные определения

Неравенство

¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦ (a, b, c, …, k , x) и

j (a, b, c, …, k , x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметромназывается допустимым значением х, если

¦ (a, b, c, …, k , x) и

j (a, b, c, …, k , x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦ (a, b, c, …, k , x0)>j (a, b, c, …, k , x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x) и (1)

z (a, b, c, …, k , x)>y (a, b, c, …, k , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

§ 2. Алгоритм решения. Находим область определения данного неравенства. Сводим неравенство к уравнению. Выражаем а как функцию от х. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству. Исследуем влияние параметра на результат. найдём абсциссы точек пересечения графиков. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥ Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§ 3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

данное неравенство равносильно системе неравенств

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то решения исходного неравенства заполняют отрезок Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Ответ: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, а значения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром находятся из системы

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

а значения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром находятся из системы

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решая эти системы, получаем, что

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Ответ: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

III. Решить неравенство Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром на Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Находим область допустимых значений – Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Построим график функции в системе координат хОу. при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром неравенство решений не имеет. при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром для Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром решение х удовлетворяет соотношению Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, где Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Ответ: Решения неравенства существуют при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, где Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , причем при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром решения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром; при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром решения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром .

IV. Решить неравенство

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметромГрафическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Разложим числитель на множители.

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

т. к. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром то

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Разделим обе части равенства на Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Но Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром


Информация о работе «Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 14032
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 3

Похожие работы

Скачать
13855
1
0

... b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z. ...

Скачать
14470
1
3

... параметра на результат. ·   найдём абсциссы точек пересечения графиков. ·   зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥ 7.   Записываем ответ. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.   §3. Примеры I. Для всех ...

Скачать
69553
1
0

... точек координатной оси. Занятие № 4. Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений». Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр. Литература для учителя: см. [1] , [5], [6], [7], [14] Литература для ученика: см. [3] Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению ...

Скачать
9032
0
8

... это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)   Применение графиков в решении неравенств. 1)Неравенства с модулем. Пример1. Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4. На интеграле(-1;-∞) по ...

0 комментариев


Наверх