Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

32243
знака
1
таблица
28
изображений

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ïî âûñøåìó îáðàçîâàíèþ

Ñàðàòîâñêèé îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ã.×åðíûøåâñêîãî

Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà

 

 

 

 

ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÍÀÈËÓ×ØÈÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÕ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ

 

 

 

ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ

ñòóäåíòêè 524 ãðóïïû ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

×óðêèíîé Ëþáîâè Âàñèëüåâíû

 

 

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü

ê.ô.-ì.í, äîöåíò

Òèìîôååâ Â. Ã.

Çàâåäóþùèé êàôåäðîé

äîêòîð ô.-ì.í., ïðîôåññîð

Ïðîõîðîâ Ä.Â.

 

 

ã.Ñàðàòîâ-1996 ã.

Оглавление.

Наименование

Стр.

Введение

3

§1. Некоторые вспомогательные определения

7

§2. Простейшие свойства модулей нерперывности

20

§3. Обобщение теоремы Джексона

24

§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна

27

§5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию

30

§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена

34

§7. Основная теорема

44

§8. Решение задач

47

Литература

50

Введение

Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.

Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.

В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:

При каких ограничениях на непрерывную функцию F(u) (-1  u  +1) её наилучшие приближения En [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок (n-1 )?

При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение En[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок (n-1 )?

Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.

Мы ограничимся случаем, когда  N , для некоторого  , где  - функция сравнения р-го порядка и для 0<<

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для En[f] и дифференциальными свойствами f. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками En[f] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

где  - некоторое число.

Наша основная теорема формулируется следующим образом:

Пусть  N Для того чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

необходимо, чтобы для любого натурального k>, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.

В §1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.

В §2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.

§3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.

В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

В §3 доказываем:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (*)

В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем §5.

В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?

Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно, чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами равномерно относительно n. (fHk[], если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами равномерно относительно n.

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Тогда, если  не целое, r=[], =-r, то f имеет нерперывную производную Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Случай целого рассмотрен Зигмундом. В этом случае

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<<k и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Мы переносим эти теоремы на условия вида

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

где  N

Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами;

для того, чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно выполнение условия

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.

В §7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку En[f] снизу, если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Именно, тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Случай =0 установлен С.Н.Бернштейном [3].

В §8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.

§1. Некоторые вспомогательные определения.

В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 и их приближение тригонометрическими полиномами. Через tn(x) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x,f)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех tn(x). Мы полагаем Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и пишем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Введём ряд определений.

Определение 1. При каждом фиксированном Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами классом Липшица порядка  называется множество всех непрерывных функция f, модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где С8-какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от  и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается H или Lip 

Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W(r)L класс функций f, которая имеет абсолютно непрерывные производные до (r-1) порядка и у которой r-я производная принадлежит классу L.

Определение 3. Для непрерывной на [a,b] функции f (x) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию f;, определённую на [0, b-a] при помощи следующего равенства:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.1)

или, что то же самое,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.1’)

Свойства модуля непрерывности:



 есть функция, монотонно возрастающая;

 есть функция непрерывная;

 есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.2)

Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Свойство 2) вытекает из того, что при больших  нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство 4) следует из того, что если мы число Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами представим в виде h=h1+h2, Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Из неравенства (1.2) вытекает, что если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами то Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами т.е.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.3)

Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно непрерывна на [a,b], то Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и, следовательно, для любых , Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

а это и означает, что функция  непрерывна.

Определение 4. Пусть функция f (x) определена на сегменте [a,b]. Тогда для любого натурального k и любых Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и h>0 таких, что Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.4)

а при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и h>0 таких, что Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами k-й симметричной разностью - величина

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.4’)

Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.5)

Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма доказана.

Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.6)

Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Предполагая его справедливость при k-1 (k2), получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма доказана.

Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)Lq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка k1 понимают функцию

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма 3. Если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами то справедливо

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.7)

Доказательство. В самом деле,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и так далее. Лемма доказана.

Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b], то под её модулем гладкости порядка k1 понимают функцию

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

заданную для неотрицательных значений Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.

Свойства модулей гладкости:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть функция, монотонно возрастающая;

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть функция непрерывная;

При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.8)

а при любом Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-неравенство

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.8’)

5) Если функция f(x) имеет всюду на [a,b] непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.9)

Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.

3) Предполагая для определённости, что ’, получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Этим непрерывность функции k() доказана.

4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиЭтим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции k(t) и неравенства (1.8).

5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-конечная разность функции f k-го порядка с шагом h:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами мы будем писать просто Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами мы будем называть модулем гладкости.

Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами определена для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами не убывает,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Нетрудно показать, что если f 0, то Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2).

Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Будем говорить, что функция f принадлежит к классу Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, если найдётся константа С10>0 такая, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Вместо Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами будем писать просто Hk.

Если для последовательности функций {fn} (n=1,2,...)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где С10 не зависит от n, то будем писать: Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами равномерно относительно n.

Понятие классов Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.

Определение 10. Зафиксируем число >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем  (p=-[-]). Будем говорить, что функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами принадлежит к классу Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, если она

1) есть функция сравнения p-го порядка и

2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0 такая, что для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Условие 2) является небольшим ослаблением условия “Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами не убывает”. Функции класса N будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.

Определение 11. Будем говорить, что функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами имеет порядок Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, если найдутся две положительные константы С12 и С13 такие, что для всех t, для которых определены функции Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

При выполнении этих условий будем писать

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.10)

Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.10’)

Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.11)

Ядро Фейера Fn(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.11’)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.11’’)

где Dk(t)-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.12)

Свойства ядер Джексона.

а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

где jk=jk(n) - некоторые числа

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

б) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

в) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

г) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Доказательство.

а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место равенства

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где jk(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Этим свойство а) доказано.

б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0.

в) Так как Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при любом Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (**), то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Что и требовалось доказать.

Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, (1.13)

n=1,2,3,...,k-натуральное, где

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:

а) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn,k(t)

является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)

в) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиn2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

г) При любом >0 имеет место неравенство

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

д) При любом натуральном Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Доказательство свойств ядер типа Джексона.

а) Это свойство вытекает из равенств определения

б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.14)

где Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами - некоторые целые числа.

в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами(1.15)

С другой стороны

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.15‘)

г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.16)

где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sintt, при всех t0 (***), имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (1.16‘)

A1-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.

 

 

§2. Простейшие свойства модулей нерперывности.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f1, f2, ... - непрерывны.

ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого 0

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.1)

Доказательство: по определению,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l<k. Тогда для любого 0

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.2)

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.3)

Доказательство: Положим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда для 0l<k имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

откуда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда при l=0 вытекает, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

а при 0<l<k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Полагая в (2.3) l=1, находим, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. (2.4)

ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами является непрерывной функцией от .

Доказательство: Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Таким образом

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и так как Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то отсюда вытекает непрерывность функции Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, и лемма доказана.

ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого 

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.5)

Доказательство: Индукция по k даёт формулу

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.6)

Если кроме того 0<то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.7)

Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.8)

Тогда p-1, и так как Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.9)

Тогда p, и так как Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как  для 0<

Неравенство (2.7) показывает, что для любой f0 и любого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.10)

Лемма доказана.

ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f(r). Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.11)

и для любого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (2.12)

Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиЕсли k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.

 

§3. Обобщение теоремы Джексона.

Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.

Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0,1,...), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.1)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.2)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.3)

Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер Kn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где k0-целое, не зависит от n, Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами натуральное p определяется из неравенства

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

а bp выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).

Лемма 8. Если последовательность ядер {Kn(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.4)

Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.5)

Доказательство. Пусть последовательность ядер {Kn(t)} (n=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Очевидно, Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть тригонометрический полином порядка не выше n-1. Оценим Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.6)

Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, получим, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда и из (3.4) следует:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (3.7)

В самом деле, согласно (2.12)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и применение теоремы 1 даёт (3.7).

 

§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.

В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.

Теорема 2. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда для любого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.1)

и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].

Отметим несколько следствий из этого неравенства.

Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.2)

Полагая в (4.1) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, получаем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 §2,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

откуда и следует (4.2).

Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Следствие 2.2. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.3)

Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.4)

Таким образом, для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от .

Следствие 2.3. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.5)

В частности,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.6)

Следствие 2.4. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.7)

В частности, для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (4.8)

В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и остается воспользоваться неравенством (4.5).

Следствие 2.5. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. (4.9)

Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).

 

§5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.

В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином tn(x) близок к заданной функции f, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f.

Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.1)

Тогда для любого Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.2)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.3)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.4)

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.5)

Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших , а (5.3)-для малых. Если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.

Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Докажем (5.5). Положим в (5.2) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда получим :

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

после чего (4.5) даёт (5.5).

(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).

Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда из (5.4) следует:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Рассмотрим, наконец, случай Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Из неравенства (2.7) выводим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.6)

Тогда для любого >0

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.7)

равномерно относительно n.

Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.8)

Теорема 4. Для того, чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно, чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.9)

равномерно относительно n.

Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Теорема 5. Для того, чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно, чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.10)

Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.

Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С20. Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома tn рассматривать последовательность полиномов {tn} (n=1,2,...), то С20 окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n. Покажем как избавиться от этого неудобства.

Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.11)

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.12)

Тогда для любого >0

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.13)

равномерно относительно n.

Доказательство. Пусть сперва Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Из неравенства (5.2) следует, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и на основании (5.11)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (5.14)

Рассмотрим случай Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Положим в (5.14) Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда получим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Но так как, по условию, Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Окончательно,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.

 

§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и

Ш. Валле-Пуссена.

В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f, если известны свойства последовательности её наилучших приближений {En}.

Лемма 9. Зададим натуральное число k, и пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.1)

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. (6.2)

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.3)

Доказательство. Имеем, согласно (2.1),

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Но из (2.10) и (6.2) получаем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

а из (2.2) и (6.1)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

левая часть этого неравенства не зависит от n, а поэтому

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и лемма доказана.

Для получения хороших оценок Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами обычно достаточно взять Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами может оказаться предпочтительнее.

Теорема 7. Пусть k-натуральное число, функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами не убывает и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.4)

Для того чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно выполнение условия

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.5)

Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Положим здесь Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами; тогда для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами будем иметь Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамипоэтому

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

Отметим два следствия из этой теоремы.

Следствие 7.1. Пусть k-натуральное число, функция Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами не убывает и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.6)

Для того чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно выполнение условия

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.7)

Следствие 7.2. Пусть k-натуральное число и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.8)

то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

равномерно относительно n.

Это вытекает из теорем 7 и 6.

Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Теперь мы получим оценки для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).

Лемма 10. Пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.9)

где Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда для любого натурального k

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.10)

Доказательство. Зафиксируем натуральное число n, определим натуральное p из условий

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и построим последовательность номеров Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами положив

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Для оценки Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами представим Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами в таком виде:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Так как Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то отсюда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.11)

Оценим Ul(k). Имеем для l=1,2,...,p

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

откуда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Но Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами есть тригонометрический полином порядка не выше nl. Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.12)

Заметим теперь, что, в силу определения последовательности {nl},

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности {Fn}2 находим, что для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.13)

При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и лемма доказана.

Теорема 8. Для любого натурального k и любого Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.14)

Доказательство. Имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда, по лемме 10,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Кроме того,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {En} условие (6.4) влечёт Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Теорема 9. Зададим натуральное число k; пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Для того чтобы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, необходимо и достаточно выполнение условия

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.15)

Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Положим здесь Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и заметим, что тогда Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и, в силу условия Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиПpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

Следствие 9.1. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Тогда для всех натуральных Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами классы Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами эквивалентны.

Следствие 9.2. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Если

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

то для любого фиксированного натурального Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

равномерно относительно n.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r)?

Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.16)

где

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.17)

Тогда f имеет непрерывную производную f(r) и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.18)

С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f(r) и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами равномерно относительно x. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.

Доказательство. Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Поэтому Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами равномерно относительно x. Отсюда следует, что если {nk} (k=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Зафиксируем натуральное число n и положим

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда будем иметь

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.19)

где

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.20)

Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

откуда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Оценим теперь Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. По неравенству С.Н.Бернштейна,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пользуясь этой оценкой, получаем:

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Но

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.21)

Итак, доказана сходимость ряда Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.22)

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Следствие 10.1. Пусть r-натуральное число и сходится ряд

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.23)

Теорема 11. Пусть r-натуральное число и для функции f сходится ряд

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда для любого натурального k и любого Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (6.24)

Доказательство. Имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда, по лемме 10,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Далее, согласно теореме 10,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Заметим, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Таким образом, если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и теорема доказана.

§7. Основная теорема.

Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами-заданная невозрастающая функция?

Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случая Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Мы решим её для функций сравнения Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Лемма 11. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и для некоторого натурального Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.1)

Тогда существует такая константа с>0, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.2)

Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С60>0 и C61>0, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.3)

Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.4)

В силу (2.1) и (2.2), имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.5)

Вспомним теперь, что Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Это даёт нам для Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Подставляя эту оценку в (7.5), получаем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.6)

Мы можем без ограничения общности считать, что здесь Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Положим в (7.6)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда получим окончательно

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и лемма доказана.

Основная теорема. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. Для того чтобы

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.7)

необходимо, чтобы для всех натуральных Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, и достаточно, чтобы для некоторого натурального Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами. (7.8)

Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные константы С67 и С68, для которых

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.9)

Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

т.е.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Отсюда, в силу Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и если Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами, то, ввиду монотонности Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С72 такой, что для любого Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8).

Пусть имеет место (7.8):

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.10)

с С73>0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

а по лемме 11,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

где С77>0.

Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана.

Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами сверху и снизу имеют разные порядки.

Теорема 12. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами и

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.11)

Тогда

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами (7.12)

Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11,

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Положим здесь

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Тогда получим, что

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Теорема доказана.

 

§8. Решение задач.

Пример 1. Пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами Тогда при каждом Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пример 2. Пусть график функции f(x) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами показан на рис.8.2.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Рис. 8.1. Рис. 8.2.

Пример 3. Пусть при Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

и пусть Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами - периодическое продолжение функции Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами на всю ось.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

Рис. 8.3.

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномамиРис. 8.4.

Тогда если функцию Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами рассматривать на сегменте Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами длины Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами так, что (рис. 8.3)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

то (рис. 8.4)

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

т.е. модуль непрерывности функции Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами в точке Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами не достигает своего наибольшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности этой функции на всей оси.

Пример 4. При Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

является модулем непрерывности.

Пример 5. При Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами функция

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

является модулем непрерывности.

Пример 6. При Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами имеем Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами так что при всех Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами будет

Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами.

Литература.

Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114.

Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.

Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144.

Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937.

Никольский С. Обобщение одного неравенства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137.

Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.-Л.,-1934.

Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.

Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.

Тиман А.Ф. Теория приближения функций функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624.

Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324.

Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т.22.-1977.-№2.-с.231-243.

Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.


Информация о работе «Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 32243
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 28

0 комментариев


Наверх