Сумма смежных углов = 180°
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
Ð ВАС Ð ДСА внутр. одностор. (1рис)
Ð ВАС Ð ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
Ð ЕАВ Ð АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,ð прямые| |.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð 1=Ð 2
Но Ð 1=Ð 3 (вертикальные)ð Ð 3=Ð 2.Но Ð 2 и Ð 3-накрестлежщие.ð По Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð =180° , то прямые | |n
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие Ð =, со-
ответств.Ð =, сумма внутр.одностÐ =180° .
Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð 90° .
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ^ 3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180° /n); r = a / 2 tg (180° )
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 ^ , восстановленные из середин сторон Ñ , пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ½ основания
H(опущ. на стор. a) = 2v p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ½ v 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a² =b² +c² -2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства Ñ : 2Ñ =, если = сотв.
1. 2 стороны и Ð между ними.
2. 2 Ð и сторона между ними.
3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð
4. три стороны
5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.
Прямоугольный Ñ C=90° a² +b² =c²
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний Ñ H= v 3 * a/2
S Ñ = ½ h a =½ a b sin C
Параллелограмм
d² +d`² =2a² + 2b²
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ½ d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =½ uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a² sinA= ½ d d`
Окружность L= p Rn° / 180° ,n° -центрÐ
Т.Впис.Ð = ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ
S(cектора)= ½ R² a = p R² n° / 360°
Векторы.. Скалярное произведение
` а` b=|` a| |` b| cos (` a Ù ` b),
|` a| |` b| - длина векторов
Скалярное произведение |` a|{ x`; y`} и |` b|{ x``; y``} , заданных своими коорди-натами, =
|` a| |` b| = x` × y` + x`` × y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (^ )
3. Симм. Отн-но плоскости (^ )
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k> 0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка АÏ оси р Аð А` так, что
А и А` Î a , a ^ р, Ð АОА` = j = const, О- точка пересеч. a и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)ð (x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВСÎ (а); A`B`C` Î (a`)
2. (p) ð (p`); [p)ð [p`); a ð a `; Ð Að Ð A`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k² S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a , то она | | a
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b , то a | | b .
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^ каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^ .
Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^ , то и другая ^ плоскости.
Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано [a)^ b ,[a) Î a ,a È b = (p).Д-ть: a ^ b
Док-во. [a)^ b =· М. Проведем (b) через М, (b)^ (p). (a)Ù (b) - линейный Ð двугранного угла между a и b . Так как [a)^ b ð (a)^ (b)ð (a)Ù (b)=90° ð a ^ b n
Т. Если 2 пл-сти взаимно ^ , то прямая
1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ^ .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн × a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S ^ -го сечения
V = S пс × а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ .
Фигуры вращения
Цилиндр V=p R² H; S= 2p R (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * p R² H
S= Sосн+ Sбок= p R (r + L); L-образующая
Сфера “оболочка” S= 4p R²
Шар М= 4/3 p R3
Похожие работы
... информационной причинности взаимодействий (нейтрализация энтропии), связанной с процессами отражения степеней упорядоченности (возбуждений), обладание универсальной системой пространственно-временных отношений, выделяют “абсолютный квант” в феноменальное явление физической природы. Он может быть неожиданным материальным воплощением той начальной активной субстанции, которую объективный идеализм, ...
... представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в ...
... Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла (Б) Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у. .Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных ...
... 3. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г. 4. И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г. Приложение 1 Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ...
0 комментариев