Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

8531
знак
18
таблиц
1
изображение

С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений

Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.

В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.

Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта.

1. Области, функциональное пространство, полиномиальные последовательности

Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.1)

круговая луночка S конформно отображается в бесконечную полосуКубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке.

Обозначив обратное к (1.1) преобразование как  =(x,y),  =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно определяется заданием 1 и , т.е. S=S(1,). Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,)) обозначим как u(,).

В качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj()  u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d0. Совокупность всех таких элементов u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное произведение, положив:Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке. Здесь (x0,y0) - произвольная внутренняя точка из S.

Рассмотрим функцию комплексного переменного z = x+iy: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке.

Функции u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют следующий вид:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеКубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.2)

Используя формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.3)

Интегралы в (1.3), очевидно, сходятся при a(-,), b2.

Функции u0(,) и v0(,) удовлетворяют условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки  из интервала (0,2). Значит, для такого  и вещественного t, удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют место разложения:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.4)

Здесь и далее под k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,.... Коэффициенты uk(,), vk(,) этих разложений при k1 обладают рядом интересных свойств.

1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.5)

2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.6)

3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(1.7)

Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.

4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.

5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.

2. Ортогонализация последовательности полиномов

Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

(2.1)

g№0. Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночкеи Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке. Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают следующие формулы:

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке, Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

где  =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.


Информация о работе «Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 8531
Количество таблиц: 18
Количество изображений: 1

0 комментариев


Наверх